Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 96

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 96: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 96: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 10000000000000000000000000000000100000000000000000000000000000001_(z) * 11111111111111111111111111111111_(z). (To je dále součinem 1111111111111111 * 10000000000000001, viz Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 32). V každě soustavě je i číslo 10000000000000000000000000000000100000000000000000000000000000001_(z) dále dělitelné číslem 100000000000000010000000000000001_(z). Zároveň je repunit o délce 96 také součinem 111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) * 1000000000000000000000000000000000000000000000001, přičemž číslo 1000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) je dělitelné 10000000000000001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggggggggggggggg0000000000000001, kde g = 10_(z) - 1. Ne v každé soustavě je gggggggggggggggg0000000000000001_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (99999999999999990000000000000001 = 97 * 206209 * 66554101249 * 75118313082913).
Číslo gggggggggggggggg0000000000000001_(z) můžeme získat také takto: (z⁸ + 1) * z¹⁶ * ((z⁴ + 1) * ((z² + 1) * (z² - 1)) + 1 neboli (z¹⁶ * (z¹⁶ -1)) + 1.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo gggggggggggggggg0000000000000001_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 96, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka: gggggggggggggggg0000000000000001.
Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
Prvočísla o délce p.h. l = 96 vždy vyhovují vzorci 96n + 1.
- Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 12 jsou ve tvaru gg01; unikátní prvočísla o délce p.h. = 18 jsou ve tvaru ggg001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).

Tabulka nejmenších unikátních p (U₉₆)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₉₆ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 96
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/96 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/96)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
p_(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z

Tabulka nejmenších unikátních prvočísel *gggggggggggggggg*0000000000000001_(z) (U₉₆)
p	18446744069414584321	83198449060887472631140495091974297750081	20373094654699866379529360122950128475486289921	63340286662973277706162278988150776663495577436161
z	4	19	28	36
f k/96	2^28∙5∙17∙257∙65537	2∙3∙5∙17∙19^16∙181∙3833∙15073∙563377	2^27∙3^2∙5∙7^16∙17∙29∙157∙614657∙22223646961	2^27∙3^31∙5∙7∙17∙37∙353∙1297∙1697∙98801∙4709377

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U96)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₉₆)