Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 24

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 24: 111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 24: 111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 10000000100000001_(z) * 11111111_(z). (To je dále součinem 1111 * 10001, viz Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 8). V každě soustavě je i číslo 10000000100000001_(z) dále dělitelné číslem 100010001_(z). Zároveň je repunit o délce 24 také součinem 111111111111_(z) * 1000000000001, přičemž číslo 1000000000001_(z) je dělitelné 10001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggg0001, kde g = 10_(z) - 1. Ne v každé soustavě je gggg0001_(z) prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě (99990001).
Číslo gggg0001_(z) můžeme získat také takto: (z² - 1) * z⁴ * (z² + 1) + 1 neboli (z⁴ * (z⁴ -1)) + 1.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo gggg0001_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 24, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka: gggg0001.
Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
Prvočísla o délce p.h. l = 24 vždy vyhovují vzorci 24n + 1.
- Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 12 jsou ve tvaru gg01; unikátní prvočísla o délce p.h. = 18 jsou ve tvaru ggg001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).

Tabulka nejmenších unikátních p (U₂₄)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₂₄ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 24
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/24 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/24)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
p_(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z

Tabulka nejmenších unikátních prvočísel *gggg*0001_(z) (U₂₄)
p	241	6481	390001	1678321	99990001	815702161	1475750641	2562840001	11019855601	152587500001	208826607601
z	2	3	5	6	10	13	14	15	18	25	26
f k/24	2∙5	2∙3^3∙5	2∙5^4∙13	2∙3^3∙5∙7∙37	2∙3∙5^4∙11∙101	2∙5∙7∙13^4∙17	2∙5∙7^4∙13∙197	2^3∙3^3∙5^4∙7∙113	2∙3^7∙5^2∙13∙17∙19	2^2∙5^8∙13∙313	2∙3^2∙5^2∙13^4∙677
l.p.(10)	30	270	195000	104895	24	50981385(?)	(?)	(?)	(?)	(?)	(?)
p_(z)	11110001	22220001	44440001	55550001	99990001	CCCC0001	DDDD0001	EEEE0001	HHHH0001*	24:24:24:24:00:00:00:01	25:25:25:25:00:00:00:01

H = 17:

Pokračování tabulky nejmenších unikátních prvočísel *gggg*0001_(z) (U₂₄)
p	282429005041	852890113921	1785792568561	3512477579761	5352006947041	6553597440001	9682648884721	14048219877121	20047607754481
z	27	31	34	37	39	40	42	44	46
f k/24	2∙3^11∙5∙7∙13∙73	2^4∙5∙13∙31^4∙37	2∙5∙7∙11∙13∙17^4∙89	2∙3∙5∙9∙37^4∙137	2^2∙3^3∙5∙13^4∙19∙761	2^9∙5^4∙13∙41∙1601	2∙3^3∙5∙7^4∙41∙43∙353	2^5∙3∙5∙11^4∙13∙43∙149	2∙3∙5∙23^4∙29∙47∙73

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 23
následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 29

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U24)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₂₄)