Přeskočit na obsah

Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 24

Z Wikiverzity
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie[editovat]

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 24: 111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 24: 111111111111111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 10000000100000001(z) * 11111111(z). (To je dále součinem 1111 * 10001, viz Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 8). V každě soustavě je i číslo 10000000100000001(z) dále dělitelné číslem 100010001(z). Zároveň je repunit o délce 24 také součinem 111111111111(z) * 1000000000001, přičemž číslo 1000000000001(z) je dělitelné 10001(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggg0001, kde g = 10(z) - 1. Ne v každé soustavě je gggg0001(z) prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě (99990001).
  3. Číslo gggg0001(z) můžeme získat také takto: (z2 - 1) * z4 * (z2 + 1) + 1 neboli (z4 * (z4 -1)) + 1.
  4. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  5. Pokud číslo gggg0001(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 24, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka: gggg0001.
  6. Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
  7. Prvočísla o délce p.h. l = 24 vždy vyhovují vzorci 24n + 1.
    • Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 12 jsou ve tvaru gg01; unikátní prvočísla o délce p.h. = 18 jsou ve tvaru ggg001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).

Tabulka nejmenších unikátních p (U24)[editovat]

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U24 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 24
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/24 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/24)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
  • p(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z
Tabulka nejmenších unikátních prvočísel gggg0001(z) (U24)
p 241 6481 390001 1678321 99990001 815702161 1475750641 2562840001 11019855601 152587500001 208826607601
z 2 3 5 6 10 13 14 15 18 25 26
f k/24 2∙5 2∙3^3∙5 2∙5^4∙13 2∙3^3∙5∙7∙37 2∙3∙5^4∙11∙101 2∙5∙7∙13^4∙17 2∙5∙7^4∙13∙197 2^3∙3^3∙5^4∙7∙113 2∙3^7∙5^2∙13∙17∙19 2^2∙5^8∙13∙313 2∙3^2∙5^2∙13^4∙677
l.p.(10) 30 270 195000 104895 24 50981385(?) (?) (?) (?) (?) (?)
p(z) 11110001 22220001 44440001 55550001 99990001 CCCC0001 DDDD0001 EEEE0001 HHHH0001* 24:24:24:24:00:00:00:01 25:25:25:25:00:00:00:01
  • H = 17:
Pokračování tabulky nejmenších unikátních prvočísel gggg0001(z) (U24)
p 282429005041 852890113921 1785792568561 3512477579761 5352006947041 6553597440001 9682648884721 14048219877121 20047607754481
z 27 31 34 37 39 40 42 44 46
f k/24 2∙3^11∙5∙7∙13∙73 2^4∙5∙13∙31^4∙37 2∙5∙7∙11∙13∙17^4∙89 2∙3∙5∙9∙37^4∙137 2^2∙3^3∙5∙13^4∙19∙761 2^9∙5^4∙13∙41∙1601 2∙3^3∙5∙7^4∙41∙43∙353 2^5∙3∙5∙11^4∙13∙43∙149 2∙3∙5∙23^4∙29∙47∙73

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte[editovat]

Repunity[editovat]