Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 155

Z Wikiverzity
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie[editovat]

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 155: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 155: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111111111111111111111111 * 10000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000100000000000000000000000000000010000000000000000000000000000001 a zároveň také součinem 11111 * 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001. Podíl 10000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000100000000000000000000000000000010000000000000000000000000000001/11111 je roven podílu 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001/1111111111111111111111111111111(z) a je vždy ve tvaru g0000g0000g0000g0000g0000g0000gg000gg000gg000gg000gg000gg000ggg00ggg00ggg00ggg00ggg00ggg00gggg0gggg0gggg0gggg0gggg0gggg1(z), neboli g0000[6]gg000[6]ggg00[6]gggg0[6]+1(z), kde g = z - 1.
  3. Pokud je toto číslo prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 155.
  4. V číselných soustavách, ve kterých 1/31(10) má délku periody l.p. = 5, je číslo g0000[6]gg000[6]ggg00[6]gggg0[6]+1(z) vždy dělitelné ještě jedenatřiceti a podíl má jiný tvar.
    • Délky p.h. 1/31(10) l.p. = 5 jsou v soustavách 2, 4, 8 a 16 a ve všech dalších, kde z vyhovuje vzorci z = 31n + a, kde a je rovno 2 nebo 4 nebo 8 nebo 16.
    • Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 31) délku p.h. = l (v našem případě 5), má převrácená hodnota p2 délku periody l * p (v našem případě 5 * 31 = 155).
  5. Stejnou délku p.h. (t.j. 155) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z(n), kdy n (exponent) není dělitelné ani třiceti jednou, ani pěti, natož sto padesáti pěti. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě 120 z menších, než p.
  6. Prvočísla o délce p.h. l = 155 vždy vyhovují vzorci 310n + 1.
  7. Pro (kladné) základy p - z (z je z výše uvedených pro l = 155) platí, že jejich l.p. = 310(10).
  8. zdaleka ne každé číslo g0000[6]gg000[6]ggg00[6]gggg0[6]+1(z) je prvočíslem, tak jako ani v desítkové soustavě není 900009000090000900009000090000990009900099000990009900099000999009990099900999009990099900999909999099990999909999099991 prvočíslo, je součinem 311 * 9294566806081 * 311356050778390853515194982157798457569542012969741683230780943655658473371697366138417141225623774416801. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 310n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 155.
  9. V desítkové soustavě všechna tato unikátní prvočísla (i v předchozím bodě zmíněné faktory) končí jedničkou.

Tabulka nejmenších unikátních p (U155)[editovat]

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U155 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 155
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/310 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/310)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
  • C – součin neznámých prvočísel; jejich faktorizace není tak dalece důležitá
Tabulka nejmenších unikátních p g0000[6]gg000[6]ggg00[6]gggg0[6]+1(z) (U155)
z p(10)
  f k/310
62 120210079889531850207842157725651895734735770791665291943111999941068547502300329014889914125332781328718451129004326155820728200873892797113446287934135556131164544777377956677408345558217956814342831936984916348771
  3^3∙7∙11∙13∙61∙97∙197∙331∙769∙3907∙17551∙1321981∙2512453∙38190091∙795725387∙214819392573451∙46655093298801511∙
∙697114843949409546944704097503642071644586898634803423907353021708332235707617910055644092232680590493394122334376031271365109203
105 345589014402210845842960780175633194821830761720989411531570325184346932319499159689810236030996178292005668626654859593868734282849741265358489520947439223186404848816866714239265552371185264774702089803556296623601084742629420618376973815521
  2^4∙3∙7∙11∙13∙23∙37∙41∙53∙67∙149∙151^2∙163∙1621∙11131∙244087∙266971∙356947639∙26901910859∙59785910251∙227351355739829∙481137148213951∙
C4579859985851979193214267152612041091573880876466291872102793155678948505782761665821162774587070337121556235506911267558045857225129672290939(C)
241 6922122937299877082238811658707674118392043959662653686889323766713117958911703765767255579519660124805440894255939871312067599416543644679070834628472222563615547758669559683795242175042285823286494304102134259776953268802345343480238221301645094474259551777956300040990585912036942401
  2^5∙3^2∙5∙7∙11^2∙53∙113∙241∙257∙271∙541∙547∙811∙3931∙8263∙19441∙4142371∙312770551∙1178547481∙19663506721∙
C40023051407208476512568156607048233718712547912047988248517454480669467788517698149149961157532158050132774613055290210207663326675112623022852149717220255208739194844591090881230886737419192554343990975589317551(C)

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte[editovat]

Repunity[editovat]