Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 93

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 93: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 93: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) dělitelné 1111111111111111111111111111111_(z) a 111_(z) (bez ohledu na to, zda tito činitelé jsou či nejsou prvočísly). Tento podíl je vždy ve tvaru g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1, kde g = 10_(z) - 1. Ne v každé soustavě je g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) prvočíslo, tak jako tomu je například v desítkové soustavě. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 186n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 93.
V číselných soustavách, ve kterých 1/31₍₁₀₎ má délku periody l.p. = 3, je číslo g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) navíc dělitelné 31₍₁₀₎ (třiceti jednou).
- Délky p.h. 1/31₍₁₀₎ l.p. = 3 jsou v soustavách 5, 25 a ve všech dalších, pro které platí z = 31n + 5 nebo z = 31n + 25.
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 31) délku p.h. = l (v našem případě 3), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 3 * 31 = 93).
- Tvar výrazu g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z)/31₍₁₀₎) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 93, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Stejnou délku p.h. (t.j. 93) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani 31, natož 93. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě šedesát z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 186.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₉₃)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₉₃ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 93
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/186 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/186)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) (U₉₃)
p	658812288653553079	900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991	34327408553153235877683920788486912324029949838354936279201903283843361
z	2	10	15
f k/186	3∙11∙83∙151∙331∙ ∙1277∙20261	3^2∙5∙7^2∙11∙13∙41∙53∙211∙241∙271∙2161∙9091∙2906161∙20278493∙ ∙443066748887998794079	2^4∙5∙7∙11∙31∙61∙139∙211∙1163∙1531∙4931∙19231∙142111∙8244287∙39225301∙ ∙45684806521∙1523870037199

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 'g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) (U₉₃)
p	335118382865604875193283790839361313490894864399683961900756600088302048239870259	73359691843377278752103317712455408871941453709380600726770643232683599826872817565929
z	22	27
f k/186	3^3∙7∙11∙23∙61∙463∙224071∙245411∙305401∙44973811∙858794191∙1850478481∙ ∙13854479606881∙80226709203343	2^2∙3^2∙7∙11^3∙13∙19∙37∙61∙181∙271∙1621∙4561∙387631∙755551∙927001∙16203503∙ ∙49207063∙50170027∙535554053666592102847

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) (U₉₃)
p	898433307542012700695061427104032692197383588263850746554209708433213123692648991168900913244767769286092929
z	63
f k/186	2^6∙3∙7∙11∙53∙701∙2011∙3907∙4621∙34141∙16007041∙7383900661∙52849551301∙25208496132621882851∙ ∙45054090366142921785883375320354817

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U93)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₉₃)