Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 148

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 148: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 148: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě 101_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z) neboli zkráceně gg00_[18]+1. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 148.
V číselných soustavách, ve kterých 1/37₍₁₀₎ má délku periody l.p. = 4, je číslo gg00_[18]+1 navíc dělitelné 37₍₁₀₎ (třiceti sedmi).
- Délky p.h. 1/37₍₁₀₎ l.p. = 4 jsou v soustavách 6, 31 a ve všech dalších, pro které platí z = 37n + 6 nebo z = 37n + 31.
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 37) délku p.h. = l (v našem případě 4), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 4 * 37 = 148).
- Tvar výrazu gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z)/37₍₁₀₎) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
Stejnou délku p.h. (t.j. 148) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(37*(2n+1)) (exponent, dělitelný 37), kde je l.p. = 4. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě sedmdesát dva z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 148. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 148n + 1, existuje právě třicet šest párů z, jejichž vzájemný součet (v páru) je roven p.
Zdaleka ne každé číslo gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z) je prvočíslem, jako tomu není ani v desítkové soustavě, kde 990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 = 149 * 3109 * 111149 * 708840373781 * 669031686661427842829 * 40548140514062774758071840361. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 148n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 148.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₄₈)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₄₈ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 148
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/148 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/148)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p gg00_[18]+1 (U₁₄₈)
z	p₍₁₀₎
	f k/148
4	20988936657440586486151264256610222593863921
	2^2∙3^3∙5∙7∙13∙19∙73∙97∙109∙241∙257∙433∙577∙673∙38737∙487824887233
7	6891042949305882214394659726647344864958515967158596120016737
	2^3∙3^3∙7^2∙13∙19∙43∙73∙181∙193∙409∙1063∙1201∙42409∙117307∙137089∙13841169553x32952799801
28	156611865441632058174811274386548500584124462524560239195883405209465005136730060097348354595815830932977
	2^2∙3^5∙7^2∙13∙19^2∙29∙73∙127∙271∙757∙7129∙7321∙24481∙47221∙50221∙102547∙444979∙614657∙51605161∙188878213∙ ∙343785529∙301407243681066768937
49	49423889393399574890248976222125194692516947184483513166133385508739798968838527379960489625093126118258828642982218283201
	2^4∙3^3∙5^2∙7^4∙13∙17∙19∙43∙73∙181∙193∙409∙1063∙42409∙117307∙129169∙137089∙169553∙25726609∙51385969∙ ∙635311009∙13841169553∙32952799801∙338325042961∙33232924804801
133	826596569676189178767371125692865278147592389430851877024448788116963285317304451285273734860338249382244582715436674713213493796739180800032562985080497
	2^2∙3^3∙7^2∙11∙13∙19^2∙67∙73∙97∙163∙181∙433∙457∙2161∙3169∙3313∙25633∙34543∙49369∙94441∙160232131∙8821161889∙ ∙11318820463∙304611257053∙2718141233113∙5949243656570408738831105656344833866144907737

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U148)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₄₈)