Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 150

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 150: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 150: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001, zároveň též součinem 11111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) * 10000000000000000000000000000000000000000000000000100000000000000000000000000000000000000000000000001_(z). V žádné soustavě není 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě nejmenším společným násobkem čísel 10000000000000000000000001_(z), 1000000000000001_(z), 100001_(z) a 1001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru 100000gggggggggbggggbggggg000000000100001_(z). Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 150.
Stejnou délku p.h. (t.j. 150) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 50, všech z^(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 30 (nebo 6, pokud je dělitelný i 25; nebo 10, pokud je dělitelný i 15; nebo 2, pokud je dělitelný i 75). Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě čtyřicet z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 75₍₁₀₎.
Zdaleka ne každé číslo 100000gggggggggbggggbggggg000000000100001_(z) je prvočíslem, jako tomu je v desítkové soustavě, kde 10000099999999989999899999000000000100001 je unikátní prvočíslo. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 150n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 150.
Takovéto faktory nebo unikátní prvočísla jsou vždy v desítkové soustavě zakončeny jedničkou.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₅₀)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₅₀ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 150
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/150 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/150)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 100000gggggggggbggggbggggg000000000100001_(z) (U₁₅₀)
z	p₍₁₀₎
	f k/150
2	1133836730401
	2^4∙11∙31∙41∙33791
10	10000099999999989999899999000000000100001
	2^4∙3∙5^3∙11∙41∙101∙271∙3541∙9091∙27961∙1000009999999999
16	1461503031127477825099979369543473122548042956801
	2^19∙11∙17∙31∙41∙257∙61681∙280541∙4278255361∙4109640316811
46	3238271587489289351053134646644908010298687529119902622248857714401
	2^4∙3∙11∙23^5∙29∙31∙41∙47∙71∙73∙181∙283∙541∙5101∙177101∙915391∙9724870873∙3174659841589
53	935480599011624171793785445050804366366406431707005234736820574566001
	2^3∙3^2∙5∙11∙13∙53^5∙61∙131∙281∙373∙2011∙3851∙5581∙136973∙204057488321∙286301907189497729
57	17178855539141410921217190060562048654457108966018296552316821210860001
	2^4∙3^4∙5^2∙7∙11∙13∙17∙19^5∙29∙41∙71∙101∙3691∙235621∙753031∙936181∙943091∙17016140361137623183
68	19969008808318128032800557669812176224436999942553269455106108045046400001
	2^9∙5^3∙7∙11∙17^5∙23∙37∙67∙281∙61363∙1915591∙21700501∙325312735621∙1431064019733491510071
80	13292279961905640649768404687215106698458336232408450930311168000003276800001
	2^19∙3^3∙5^3∙11∙37∙41∙79∙173∙751∙5021∙40454321∙421048907269∙40913646267161∙83563622876453171
91	2299617965768047902569556181025779353592078235330766414510362114451444453610801
	2^3∙3∙7^5∙11∙13^5∙17∙23∙31∙41∙101∙241∙1151∙1901∙5231∙8606959009741∙1660818710354183∙ ∙4701957475466161
124	545591262388883738656928828291729559898617284593667003555360290552766136359986560001
	2^9∙5^2∙7∙11^3∙23∙31^5∙41∙79∙191∙331∙541∙15377∙35201∙2178643∙46906001∙1587779666801∙ ∙4760503313753548117
152	1878207272391387746662755464140202022616788307880777822001307838210197352289044420198401
	2^14∙3∙7∙11∙17∙19^5∙151∙191∙4001∙4621∙2776471∙48848171∙14242667999341∙543338408378399∙ ∙140438238310465687

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U150)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₅₀)