Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 152

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 152: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 152: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě číslem 10001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0001_(z), neboli gggg0000_[9]+1. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 152.
Stejnou délku p.h. (t.j. 152) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(19*(2n+1)) (exponent, dělitelný 19), kde je l.p. = 8. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě sedmdesát dva z menších, než p.
Prvočísla o délce p.h. l = 152 vždy vyhovují vzorci 152n + 1.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = také 152. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 152n + 1, existuje právě 36 párů z, jejichž vzájemný součet je roven p.
Zdaleka ne každé číslo gggg0000_[9]+1_(z) je prvočíslem, jako tomu není ani v desítkové soustavě, kde 999900009999000099990000999900009999000099990000999900009999000099990001 = 457 * 1403417 * 5240808656722481737 * 297478330786365628414805305290302483555043017. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 152n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 152.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₅₂)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₅₂ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 152
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/152 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/152)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p *gggg*0000_[9]+1_{(z)</sub (U₁₅₂)}
z	p₍₁₀₎
	f k/152
9	507451442443788899165240329482668362950054541832902585238747279444641
	2^2∙3^8∙5∙7∙13∙37∙41∙73∙97∙577∙757∙769∙6481∙530713∙1418632417∙282429005041∙56227703611393
14	33205288961346216660203569154488188152577890359580014572987390338022929154267486961
	2∙3^3∙5∙7^4∙13∙37∙61∙73∙197∙211∙397∙1033∙18973∙132049∙1475750641∙56693904845761∙44030132882434030723817977
42	748081248984949594179152158058524985534312340251737807421711952022622295049354090460563426970284825265719047539447281
	2∙3^4∙5∙7^4∙13∙37∙41∙43∙73∙139∙353∙673∙1723∙4621∙19009∙288900307∙5488957657∙9682648884721∙45331106719321∙ ∙814309985977044589∙14431268820211401313
55	202354839838117902343965902023090976193905584098557934559673299777736409577311130437478941665183689317509616733903046428740001
	2^2∙3^5∙5^4∙7∙11^4∙13∙17∙37∙73∙79∙89∙109∙193∙523∙757∙991∙2971∙21277∙28729∙53407∙65929∙6580633∙6652441∙9147601∙ ∙11795538673∙20435442141183836797917410769944731369
158	201052862152607784970839135398750432784989391618859661936757119875272899511666280308834928190912228389328922093821222459136840502347909514737271403251591357681
	2∙3^3∙5∙7∙13∙37∙53∙73∙79^4∙97∙157∙433∙1657∙4993∙8269∙21961∙35569∙57493∙216577∙302593∙3780739∙31539241∙ ∙47936641∙58444777∙90199927∙5086064449∙33723613657∙227059763761∙233673018193∙26517602616683041

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U152)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₅₂)