Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 131

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 131: 111...111₁₃₁. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5, osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73 a sedmadvacítková soustava, kde opět R₃ (111) je 757.
2. V soustavách o základu 131n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 131.
3. Kromě prvočísla 131, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 131) vyhovují vzorci 262n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 130; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně sto třicet (protože 131 - 1 = 130) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 131.
6. Ve stu třiceti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 262 (111...111)₂₆₂.
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 131)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p111...111₁₃₁ _(z) (R = 131)
z	p
7	85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457
493	117755532999452269431939720608706319696023820662889929765409637272996956278703747496989911435926683346561623168856479013577041895897111230606366695869766003547269943835577644968777343804944202060416773193671901483039121719275366819000457884477448637380712022859399781269591905742076543761576961426616434950066561363402646210133213737806131708849904343

f k/262 (R131, z=7): 2^2∙7∙11∙53∙191∙2801∙157951∙787021∙1175071∙228511817∙16148168401∙4446437759531∙434502978835771∙35695043869049049222174543845808031

f k/262 (R131, z=493): 11^2∙13^2∙17∙19∙29∙53∙211∙541∙2341∙20021∙2318471∙108970861∙3354025793∙9563003347∙121508951227∙41712868767701∙
∙(C201471481054116689300583621496291314168017097630327851116514978569129365073259929407517944477865958100798778122 194069722896027243774453053182204634438152862759857962131288169712687594960941250415029905571814915799482094251784939455917446232229496781753020641992152347C)

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte