Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 147

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 147: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 147: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) * 100000000000000000000000000000000000000000000000010000000000000000000000000000000000000000000000001_(z), které je dále dělitelné čísly 111_(z) * g00g00gg0gg1_(z), kde g = z - 1 (bez ohledu na to, zda tyto faktory jsou/nejsou prvočísla). Tento podíl je vždy ve tvaru ggggggg00000000000000ggggggg00000000000000gggggggggggggg0000000gggggggggggggg0000001_(z), kde g = z - 1. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 147.
V číselných soustavách, ve kterých 1/7₍₁₀₎ má délku periody l.p. = 3, je číslo ggggggg00000000000000ggggggg00000000000000gggggggggggggg0000000gggggggggggggg0000001 navíc dělitelné 7₍₁₀₎ (sedmi).
- Délky p.h. 1/7₍₁₀₎ l.p. = 3 jsou v soustavách 2, 4 a ve všech dalších, pro které platí z = 7n + 2 nebo z = 7n + 4.
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 7) délku p.h. = l (v našem případě 3), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 3 * 7 = 21) a převrácená hodnota p³ má délku periody l * p² (v našem případě 3 * 7² = 147).
- Tvar výrazu ggggggg00000000000000ggggggg00000000000000gggggggggggggg0000000gggggggggggggg0000001_(z)/7₍₁₀₎) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
Zdaleka ne každé číslo ggggggg00000000000000ggggggg00000000000000gggggggggggggg0000000gggggggggggggg0000001_(z) je prvočíslo, tak jako tomu například není ani v desítkové soustavě (999999900000000000000999999900000000000000999999999999990000000999999999999990000001 = 63799 * 4715467 * 267652966241599 * 2603941883787374089 * 4769337181464959147997704753876850429427). Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 294n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 147.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo ggggggg00000000000000ggggggg00000000000000gggggggggggggg0000000gggggggggggggg0000001_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 147, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Stejnou délku p.h. (t.j. 147) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani sedmi, natož jedenadvaceti či sto čtyřiceti sedmi. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě osmdesát čtyři z menších, než p.
Pro odpovídající (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 294.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₄₇)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₄₇ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 147
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/294 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/294)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p *ggggggg*00000000000000ggggggg00000000000000gggggggggggggg0000000ggg ggggggggggg0000001_(z) nebo jejich sedmin* (U₁₄₇)
z	p₍₁₀₎
	f k/294
2*	2741672362528725535068727*
	61∙337∙70687∙6417545220131
13	3725989158126343238165239463083874771558142749910424645682212062545533582110964106770045453129
	2^2∙3^3∙13^7∙29∙157∙463∙22079∙1673207∙5229043∙7875257869∙54165939703∙1808071332166044353∙5954296849278449467
17	22788167065691844663334028240545681325376655503778236000539461037982184161847400014391069405025195454369
	2^4∙3^2∙7∙11∙13∙17^7∙4591∙412193∙1130047∙22796593∙25646167∙88109799136087∙ ∙966196911896028904379708534147757173872633163398143
23*	346768935551657470482396428389237590729935799402873431623125997943892997344190142357143139635167936294208886523367*
	43∙79∙12647∙85889∙170689∙408030421∙99943705892118021074882227∙ ∙45921780328513928797170635907367406165421282409961467522853
120	4479449738824559911405432171622431829275668430844344515196980587638645440400088938538874924348546042514085930951926603576896048301464565609472464741466111999999641681920000001
	2^20∙3^6∙5^7∙11^2∙17∙29∙43∙113∙547∙14281∙47599∙120557∙950839∙1594111∙38571887∙89541469∙252172369∙903663853∙430153757503∙ ∙38264469308463230429460319015951308411820085554542681592137520175423203884169

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U147)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₄₇)