Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 25

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 25: 1111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 25: 1111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 100001000010000100001_(z) * 11111_(z).
V číselných soustavách o základu z = 5n + 1 je navíc číslo 100001000010000100001_(z) dělitelné 5 (pěti).
- Takovýto podíl je potom ve tvaru 11111222223333344445, kde "1" = (z - 1)/5, "2" = 2 * "1" atd. neboli aaaaabbbbbcccccdddde, kde opět a = (z - 1)/5, b = 2a atd. Například v šestkové soustavě je číslo 11111222223333344445₍₆₎ (= 731325737104301₍₁₀₎) součinem 1450021125₍₆₎ * 3553152241₍₆₎ (18198701₍₁₀₎ * 40185601₍₁₀₎); v jedenáctkové soustavě je číslo 2222244444666668888A₍₁₁₎ (= 134550834441333402101₍₁₀₎) součinem 2289₍₁₁₎ * 17166₍₁₁₎ * 656357572672₍₁₁₎ (3001₍₁₀₎ * 24151₍₁₀₎ * 1856458657451₍₁₀₎).
Ne v každé soustavě je číslo 100001000010000100001_(z) (nebo v příslušných soustavách jeho pětina ve tvaru aaaaabbbbbcccccdddde) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo 100001000010000100001_(z) (nebo v příslušných soustavách jeho pětina ve tvaru aaaaabbbbbcccccdddde) je složené, mají faktory délku p.h. l = 25, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
Prvočísla o délce p.h. l = 25 vždy vyhovují vzorci 50n + 1.
- V desítkové soustavě jsou taková prvočísla vždy zakončena dvojčíslím 51 nebo 01.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₂₅)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₂₅ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 25
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/50 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/50)
l.p. délka periody 1/p
p_(z) - prvočíslo, zapsané v soustavě z
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 100001000010000100001_(z) nebo jejich pětin* (U₂₅)
p	705429635566498619547944801	2345734248042626317522908216901	66266211966286073829165018111601	467056170954468301850494793701001	359903965146919729447137271814701*
z	22	33	39	43	46*
f k/50	2^4∙11^5∙23∙97∙181∙401∙150901∙224071	2∙3^5∙11^5∙17∙41∙61∙109∙4721∙23801∙1151041	2^3∙3^5∙11∙13^5∙41∙101∙761∙41011∙1291594501	2^2∙5∙11∙37∙41∙43^5∙4481∙3341101∙12716981	2∙3^2∙8363∙915391∙52236658379401338751*

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U25)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₂₅)