Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 18

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 18: 1111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 18: 1111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1000001000001_(z) * 111111_(z). (To je dále součinem 111 * 1001 atd.). V každě soustavě je i číslo 1000001000001_(z) dále dělitelné číslem 1001001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru ggg001, kde g = 10_(z) - 1. Ne v každé soustavě je ggg001_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (999001 = 19 * 52597).
Číslo ggg001_(z) můžeme získat také takto: (z³ * (z³ - 1)) + 1.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo ggg001_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 18, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka: ggg001.
Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
Prvočísla o délce p.h. l = 18 vždy vyhovují vzorci 18n + 1.
- Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 12 jsou ve tvaru gg01; unikátní prvočísla o délce p.h. = 24 jsou ve tvaru gggg0001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₈)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₈ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 18
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/18 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/18)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
p_(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z

Tabulka nejmenších unikátních prvočísel *ggg*001_(z) nebo *ggg*001_(z)/3₍₁₀₎ (U₁₈)
p	19	5167	46441	87211	117307	530713	590077	102966067	612740917	1003627171	5488957657	10280267947	24794753833
z	2	5	6	8	7	9	11	26	35	38	42	56	49
f k/18	1	7∙41	2^2∙3∙5∙43	3∙5∙17∙19	7^3∙19	2^2∙3^4∙7∙13	2∙37∙443	3^2∙7∙29∙31∙101	2∙3∙31∙397∙461	5∙7∙13∙31∙59∙67	2^2∙3∙7^3∙13∙41∙139	13∙19∙79∙29269	2^3∙7^6∙19∙43
l.p.(10)	18	5166	1161	170	58653	176904	32782	7354719	?	?	?	?	?
p_(z)	10011	131132	555001	252253	666001	888001	373374	08:17:08:08:17:09	11:23:11:11:23:12	12:25:12:12:25:13	41:41:41:00:00:01	18:37:18:18:37:19	48:48:48:00:00:01

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p *ggg*001_(z) nebo *ggg*001_(z)/3 (U₁₈)
p	13841169553	82653662521	87381162667	151333837273	282429005041	464403405313	500243042269	782756904961	999999000001	1418517921241
z	54	66	80	73	81	88	107	96	100	106
f k/18	2^2∙3^7∙53∙2971	2^2∙3∙5∙11^3∙13∙4423	3^3∙7^2∙43∙85333	2^2∙3∙73^3∙1801	2^3∙3^10∙5∙7∙13∙73	2^8∙7∙11^3∙29∙373	2∙3^2∙19∙199∙408347	2^14∙3∙5∙19∙67∙139	2^5∙3∙5^6∙7∙11∙13∙37	2^2∙5∙7∙19∙53^3∙199
p_(z)	53:53:53:00:00:01	65:65:65:00:00:01	26:53:26:26:53:27	72:72:72:00:00:01	80:80:80:00:00:01	87:87:87:00:00:01	035:071:035:035:071:036	95:95:95:00:00:01	99:99:99:00:00:01	105:105:105:000:000:001

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 17
následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 19

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U18)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₈)