Přeskočit na obsah

Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 18

Z Wikiverzity
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie[editovat]

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 18: 1111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 18: 1111111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1000001000001(z) * 111111(z). (To je dále součinem 111 * 1001 atd.). V každě soustavě je i číslo 1000001000001(z) dále dělitelné číslem 1001001(z). Tento podíl je vždy ve tvaru ggg001, kde g = 10(z) - 1. Ne v každé soustavě je ggg001(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (999001 = 19 * 52597).
  3. Číslo ggg001(z) můžeme získat také takto: (z3 * (z3 - 1)) + 1.
  4. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  5. Pokud číslo ggg001(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 18, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka: ggg001.
  6. Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
  7. Prvočísla o délce p.h. l = 18 vždy vyhovují vzorci 18n + 1.
    • Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 12 jsou ve tvaru gg01; unikátní prvočísla o délce p.h. = 24 jsou ve tvaru gggg0001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).

Tabulka nejmenších unikátních p (U18)[editovat]

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U18 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 18
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/18 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/18)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
  • p(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z
Tabulka nejmenších unikátních prvočísel ggg001(z) nebo ggg001(z)/3(10) (U18)
p 19 5167 46441 87211 117307 530713 590077 102966067 612740917 1003627171 5488957657 10280267947 24794753833
z 2 5 6 8 7 9 11 26 35 38 42 56 49
f k/18 1 7∙41 2^2∙3∙5∙43 3∙5∙17∙19 7^3∙19 2^2∙3^4∙7∙13 2∙37∙443 3^2∙7∙29∙31∙101 2∙3∙31∙397∙461 5∙7∙13∙31∙59∙67 2^2∙3∙7^3∙13∙41∙139 13∙19∙79∙29269 2^3∙7^6∙19∙43
l.p.(10) 18 5166 1161 170 58653 176904 32782 7354719 ? ? ? ? ?
p(z) 10011 131132 555001 252253 666001 888001 373374 08:17:08:08:17:09 11:23:11:11:23:12 12:25:12:12:25:13 41:41:41:00:00:01 18:37:18:18:37:19 48:48:48:00:00:01
Pokračování tabulky nejmenších unikátních p ggg001(z) nebo ggg001(z)/3 (U18)
p 13841169553 82653662521 87381162667 151333837273 282429005041 464403405313 500243042269 782756904961 999999000001 1418517921241
z 54 66 80 73 81 88 107 96 100 106
f k/18 2^2∙3^7∙53∙2971 2^2∙3∙5∙11^3∙13∙4423 3^3∙7^2∙43∙85333 2^2∙3∙73^3∙1801 2^3∙3^10∙5∙7∙13∙73 2^8∙7∙11^3∙29∙373 2∙3^2∙19∙199∙408347 2^14∙3∙5∙19∙67∙139 2^5∙3∙5^6∙7∙11∙13∙37 2^2∙5∙7∙19∙53^3∙199
p(z) 53:53:53:00:00:01 65:65:65:00:00:01 26:53:26:26:53:27 72:72:72:00:00:01 80:80:80:00:00:01 87:87:87:00:00:01 035:071:035:035:071:036 95:95:95:00:00:01 99:99:99:00:00:01 105:105:105:000:000:001

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte[editovat]

Repunity[editovat]