Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 60

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 60: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 60: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111111111111 * 1000000000000000000000000000001. Obě tato čísla jsou v každé soustavě dělitelná dále: první viz U₃₀, druhé je dělitelné číslem 101_(z). Tento podíl je vždy ještě dělitelný čísly gg01_(z) (jehož l = 12) a gg00gg01_(z) (jehož l = 20); a výsledek je vždy ve tvaru 100gggbgbgg000101, kde g = z - 1 a b = z - 2. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 60.
Stejnou délku p.h. (t.j. 60) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 20 a všech z^(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 12. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě šestnáct z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 60. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 60n + 1, existuje právě osm párů z, jejichž vzájemný součet je roven p.
Zdaleka ne každé číslo 100gggbgbgg000101_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 60n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 60.
V desítkové soustavě všechna tato unikátní prvočísla (i v předchozím bodě zmíněné faktory) končí jedničkou.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₆₀)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₆₀ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 60
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/60 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/60)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 100gggbgbgg000101_(z) (U₆₀)
p	47763361	4562284561	46329453543600481	186168115009253521	2189065053896955781	23320317172851318360001	794416494672923243971610881
z	3	4	11	12	14	25	48
f k/60	2^3∙3∙41∙ ∙809	2^2∙17∙19∙ ∙229∙257	2^3∙11^2∙61∙7321∙ ∙1786201	2^2∙3∙11∙13∙29∙89∙233∙ ∙3006719	7^2∙13∙41∙197∙223∙ ∙937∙33937	2^4∙5^3∙13∙17∙61∙313∙11489∙ ∙4008709	2^6∙3∙7^2∙47∙461∙5308417∙ ∙12235898879

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 100gggbgbgg000101_(z) (U₆₀)
p	12420278678537750519429112001
z	57
f k/60	2^4∙3∙5^2∙7∙13∙19^2∙29∙5278001∙ ∙34307003249

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U60)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₆₀)