Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 13

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 13: 1111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 13n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 13.
3. Kromě třináctky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 13) vyhovují vzorci 26n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 12; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně dvanáct (protože 13 - 1 = 12) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 13.
6. Ve dvanácti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 26 (11111111111111111111111111).
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 13)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/26 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/26)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p 1111111111111_(z) (R = 13)
p	8191	797161	305175781	16148168401	6765811783780036261	40911050578149780601	1809873235795386729241	19681767848550770169481	481037737554191584824331	792806586866086631668831
z	2*	3	5	7	37	43	59	72	94	98
f k/26	3^2∙5∙7	2^2∙3∙5∙7∙73	2∙3^2∙5∙7∙ ∙31∙601	2^3∙3∙5^2∙7∙ ∙19∙43∙181	2∙3∙5∙7∙19∙31∙37∙43∙ ∙67∙137∙144061	2^2∙3∙5^2∙11∙37∙43∙139∙ ∙631∙3416953	2^2∙3^2∙5∙7∙59∙163∙ ∙1741∙3541∙931837	2^2∙3^2∙5∙7∙17∙61∙73∙ ∙337∙751∙5113∙6133	3∙5∙7∙19∙47∙229∙1249∙ ∙8837∙78066061	3^3∙5∙7^2∙11∙17∙31∙113∙ ∙313∙853∙3169∙8317

8191: l.p. = 1365; 797161: l.p. = 199290 v desítkové soustavě.

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p.

Sledujte