Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 13

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 13: 1111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunitová prvočísla o délce 13 (1111111111111) jsou popsána v článku Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 13. Avšak v soustavách z = 13n + 1 jsou repunity 1111111111111 vždy součinem 13 * hijklmnopqrs (neboli typ 123456789ABD), kde h je (z - 1)/13, i = 2h, j = 3h, k = 4h, l = 5h atd. až s = (B + 1)*h. Ne v každé soustavě je hijklmnopqrs_(z) prvočíslo, tak jako například ve čtrnáctkové soustavě (123456789ABD₍₁₄₎ = 4696537119847₍₁₀₎ je součinem 157₍₁₀₎: * 29914249171₍₁₀₎ = B3₍₁₄₎ * 163ACC6439₍₁₄₎ (10₍₁₄₎ - 1)/C = 1; 2*1 = 2... Tudíž ve čtrnáctkové soustavě neexistuje unikátní prvočíslo s délkou p.h. l = 13.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo hijklmnopqrs_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 13, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Prvočísla o délce p.h. l = 13 vždy vyhovují vzorci 26n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₃)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₃ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 13
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/26 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/26)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
p_(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z

Viz též

w:en:Unique prime

Tabulka

Tabulka nejmenších unikátních p 1111111111111^-n_(z) nebo *hijklmnopqrs*_(z) (U₁₃)
p₍₁₀₎	28592821356085516691617	565375364735619243250927	13824559986986966607348166027	4404360096179607343163757878077
z	92	118	274	443
f k/26	2^4∙3∙7∙149∙827∙153449∙173096603	3^3∙29∙283∙347∙282804203638597	3^3∙29∙283∙347∙282804203638597	2∙3∙11∙17∙5964534318233∙25312793291251
p_(z)	07:14:21:28:35:42:49:56:63:70:77:91	009:018:027:036:045:054:063:072:081:090:099:117	021:042:063:084:105:126:147:168:189:210:231:273	034:068:102:136:170:204:238:272:306:340:374:442

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity