Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 160

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 160: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 160: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě 10000000000000001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggggggggggggggg0000000000000000gggggggggggggggg0000000000000001_(z) neboli [g_[16]0_[16]]_[2]+1_(z), kde g = 10_(z) - 1. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 160. Zdaleka ne v každé soustavě je [g_[16]0_[16]]_[2]+1_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (9999999999999999000000000000000099999999999999990000000000000001 = 1634881 * 18453761 * 947147262401 * 349954396040122577928041596214187605761). Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 160n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 160.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo [g_[16]0_[16]]_[2]+1_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 160, tudíž každé z nich není jediné takové p, a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Stejnou délku p.h. (t.j. 160) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 32. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě 64 z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 160. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 160n + 1, existuje právě 32 párů z, jejichž vzájemný součet je roven p.
Takovéto faktory nebo unikátní prvočísla jsou vždy v desítkové soustavě zakončeny jedničkou.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₆₀)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₆₀ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 160
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/160 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/160)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p g0_[39] + 1_(z) (U₁₆₀)
z	p₍₁₀₎
	f k/160
20	184467440737095516159718525023289344000000429496729599999999999344640000000000000001
	2^27∙3∙5^15∙7∙17∙19∙193∙401∙577∙641∙160001∙1505882353∙6016843417749425380073724334377601
55	2416640934960093999565211820914109920424672171548779468920755755489578260582191206140182559619799570312500000001
	2^4∙3^3∙5^16∙7∙11^16∙17∙41∙89∙18049∙107137∙111593∙539009∙1013569∙5203937∙8045249∙54401567041∙304385562049∙1405072220609
85	3039563674866725366216700431136091092181872173557088321857898804648788283115780712032350458146709515106017459433593750000001
	2^3∙3∙5^16∙7∙17^16∙41∙43∙97∙337∙769∙881∙1889∙3613∙6265921∙15943136609∙5720900209188406560110090722506790301229316963479937
100	99999999999999999999999999999999000000000000000000000000000000009999999999999999999999999999999900000000000000000000000000000001
	2^28∙3^2∙5^32∙11∙17∙73∙101∙137∙353∙449∙641∙1409∙69857∙5882353∙1265011073∙15343168188889137818369∙515217525265213267447869906815873
203	4783507138965729005937226665714823025859860266877052556858599985146312719873316370468912044365827722100393536562618876542315630027196115740075539841
	2^3∙3∙5∙7^16∙13∙17∙29^16∙101∙317∙449∙40503361∙849090841∙1668336001∙35599774321∙46165054757375692201694346685230167899277247086025825688697729

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U160)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₆₀)