Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 132

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 132: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 132: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součimem 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) * 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z). V žádné soustavě není 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné čísly 101_(z), gg01_(z) (jehož l = 12) a gg00gg00gg00gg00gg01 (jehož l = 44); a výsledek je vždy ve tvaru 100gggbgg000100gggbgbgg000100gggbgg000101, kde g = z - 1 a b = z - 2. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 132.
Pokud je tento výsledek prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 132.
Stejnou délku p.h. (t.j. 132) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 44 (nebo 4, pokud je exponent dělitelný i 33) a všech z^(11*(2n+1)) (exponent, dělitelný 11), kde je l.p. = 12 (nebo 4, pokud je exponent dělitelný i 33). Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě čtyřicet z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 132. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 132n + 1, existuje právě dvacet párů z, kde vzájemný součet z v páru je roven p.
zdaleka ne každé číslo 100gggbgg000100gggbgbgg000100gggbgg000101_(z) je prvočíslem, jako tomu není ani v desítkové soustavě (10099989900010099989899000100999899000101 = 5419170769 * 789390798020221 * 2361000305507449). Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 132n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 132.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₃₂)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₃₂ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 132
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/132 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/132)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
p_(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z

Tabulka nejmenších unikátních prvočísel 100gggbgg000100gggbgbgg000100gggbgg000101_(z) (U₁₃₂)
z	p₍₁₀₎
	f k/132
3	13490012358249728401
	2^2∙3∙5^2∙11∙61∙107∙1181∙4017547
23	2950758285992728866481208896744379674128936788494711201
	2^3∙5^2∙23^2∙29∙31∙41∙53∙61∙211∙941∙4507∙272341∙292561∙240328009∙103474014407
26	397718589170793617043037409602425551586575429042234950501
	3^2∙5^3∙13^2∙431∙439∙677∙1021∙8641∙10663∙608899∙208518605101
28	7706813453617784235385223823868613127931241172803304944401
	2^2∙3^2∙5^2∙7^2∙29∙61∙157∙14561∙53951∙84961∙637421∙227172943∙493220992764201553
65	3285769130499444773204454365666861370646154593806041654994789697981113601
	2^6∙5^2∙13^2∙101∙347∙971∙2113∙2741∙5237∙18671∙174061∙5715487∙ ∙116223791261x41312160612313327993

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U132)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₃₂)