Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 9

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 9: 111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 9: 111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111 * 1001001. Ne v každé soustavě je 1001001_(z) prvočíslo, tak jak je tomu například ve dvojkové soustavě. Co se týče repunitu o délce R = 3, sledujte v článku Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3, případně o jeho unikátním faktoru v článku Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3. Všimněte si, že 1001001_(z) je repunitem o délce R = 3 v soustavě z³: 111_(z^3) .
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
V soustavách z = 3n + 1 je číslo 1001001_(z) dělitelné 3. Tento podíl je potom ve tvaru cccdde, kde c = (z - 1)/3; d = 2c a e = d + 1. Například ve čtyřkové soustavě je to 111223₍₄₎ = 1387₍₁₀₎. Toto číslo však není prvočíslo, je to součin 19₍₁₀₎*73₍₁₀₎. Např. v desítkové soustavě 333667 je prvočíslo a tudíž je unikátním prvočíslem.
Prvočísla o délce p.h. l = 9 vždy vyhovují vzorci 18n + 1.
Prvočísla p o délce p.h. l = 9 v soustavě z mají v soustavě p - z délku p.h. l = 18.
U každého prvočísla, vyhovujícího vzorci 18n + 1 je vždy právě 6 z < p, kde délka p.h. l = 9 a dalších právě 6 z < p, kde délka p.h. l = 18.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₉)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₉ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 9
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/18 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/18)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 1001001_(z) nebo *cccdde*_(z) (U₉)
p	73	757	262657	333667	1609669	1772893	64008001	85775383	308933353	729027001	15625125001	17596420453	30841155073	46656216001
z	2	3	8	10	13	11	20	21	26	30	50	51	56	60
f k/18	2^2	2∙3∙7	2^8∙3∙19	3∙37∙167	2∙61∙733	2∙11^3∙37	2^5∙5^3∙7∙127	3∙7^3∙11∙421	2^2∙3^2∙7∙13^3∙31	2^2∙3∙5^3∙13∙31∙67	2^2∙5^6∙17∙19∙43	2∙3∙13∙17^3∙2551	2^8∙7^3∙13∙19∙79	2^5∙3∙5^3∙61∙3541
p_(z)	1001001	1001001	1001001	333667	444889	1001001	1001001	1001001	1001001	1001001	1001001	1001001	1001001	1001001