Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 114

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 114: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 114: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě čísly 1001_(z) a číslem g0g0g0g0g0g0g0g0g1_(z), kde g = z - 1. Tento podíl je vždy ve tvaru 10gbg010gbg010gbg00gbg010gbg010gbg011_(z), kde g = z - 1 a b = z - 2.
V číselných soustavách, ve kterých 1/19₍₁₀₎ má délku periody l.p. = 6, je číslo 10gbg010gbg010gbg00gbg010gbg010gbg011_(z) vždy dělitelné ještě devatenácti a podíl má jiný tvar.
- Délky p.h. 1/19₍₁₀₎ l.p. = 6 jsou v soustavách 8 a 12 a ve všech dalších, kde z vyhovuje vzorci z = 19n + a, kde a je rovno 8 nebo 12.
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 19) délku p.h. = l (v našem případě 6), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 6 * 19 = 114).
Stejnou délku p.h. (t.j. 114) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 38 a všech z^(19*(2n+1)) (exponent, dělitelný 19), kde je l.p. = 6. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě padesát čtyři z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je 57.
Zdaleka ne každé číslo 10gbg010gbg010gbg00gbg010gbg010gbg011_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 114n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 114.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₁₄)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₁₄ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 114
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/114 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/114)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 10gbg010gbg010gbg00gbg010gbg010gbg011_(z) (U₁₁₄) nebo jejich devatenáctin*
p	19177458387940268116349766612211*	195170541036876871586242124250099044769031	209361280236010317284988424624480918415704609
z	8*	14	17
f k/114	3∙5∙3771755884709∙ ∙2973386478067139*	3^4∙5∙7∙13∙23∙211∙397∙18973∙ ∙132049∙9623677872703565857	2^4∙3^3∙17∙307∙1423∙5653∙79301∙1270657∙ ∙66613709∙15085717547

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U114)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₁₄)