Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 115

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 115: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 115: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111111111111111 * 100000000000000000000001000000000000000000000010000000000000000000000100000000000000000000001 a zároveň také součinem 11111 * 100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001. Podíl 100000000000000000000001000000000000000000000010000000000000000000000100000000000000000000001/11111 je roven podílu 100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001/1111111111111 a je vždy ve tvaru g0000g0000g0000g0000g00g0g00g0g00g0g00g0g00g0gg0g0gg0g0gg0g0gg0g0gg0gggg0gggg0gggg0gggg1_(z), kde g = z - 1. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l) = 115.
Stejnou délku p.h. (t.j. 115) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani dvaceti třemi, ani pěti, natož sto patnácti. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě 88 z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 230.
Zdaleka ne každé číslo g0000g0000g0000g0000g00g0g00g0g00g0g00g0g00g0gg0g0gg0g0gg0g0gg0g0gg0gggg0gggg0gggg0gggg1_(z) je prvočíslem, tak jako ani v desítkové soustavě není 9000090000900009000090090900909009090090900909909099090990909909099099990999909999099991 prvočíslo, je součinem 31511 * 19707665921 * 20414137203567631 * 5799951513941382144830754391 * 122403569491783662720773144041. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 230n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 115.
V desítkové soustavě všechna tato unikátní prvočísla (i v předchozím bodě zmíněné faktory) končí jedničkou.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₁₅)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₁₅ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 115
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/230 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/230)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

..n\
\n... - rozdělení jednoho čísla do dvou řádků
C - součin neznámých prvočísel, jeho faktorizace není tak dalece důležitá

Tabulka nejmenších unikátních p g0000g0000g0000g0000g00g0g00g0g00g0g00g0g00g0gg0g0gg0g0gg0g0gg0g0gg0gggg0gggg0gggg0gggg1_(z) (U₁₁₅)
p	4723221817124313985440170849573573634894289409761037357465376447958048522384477940214622449577976857045338\ \164169941868758500296966035636026524720042440632351234689763647296864970323081262275238358228458668425427701
z	268
f k/230	2∙3∙5∙13^2∙17∙67∙89∙269∙82794715526723609814659∙ ∙C17940474176339617027739452343369018104509609971397379503532782419525061531244516\ \13850208599426816293378532812777255561364967714880771575460331770784241346717284810301888243064077

Jaká je frekvence unikátních prvočísel tohoto typu mi není známo. Je pravděpodobné, že jich bude více, než toto jedno.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U115)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₁₅)