Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 113

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 113: 111...111₁₁₃. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
   1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5, osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73 a sedmadvacítková soustava, kde opět R₃ (111) je 757.
   2. V soustavách o základu 113n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 113.
   3. Kromě prvočísla 113, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 113) vyhovují vzorci 226n + 1 (p).
   4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
   5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 112; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně sto dvanáct (protože 113 - 1 = 112) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 113.
   6. Ve stu dvanácti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 226 (111...111)₂₂₆.
3. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 113)

legenda:

• p - prvočíslo
• R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
• z - základ číselné soustavy
• f - w:faktor
• k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
• ∙ - znak násobení
• ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 113)

z	p
86	466558455712303515409134569873255522226148526220127194936326363815614892415466544856886797456926036915457461437737681013121379480709934292- -1965475301239994952835162236363787440692527637746885398951573257765556756611843
233	1398720986297873794567899533812094664125154094778828057741799857114127495684687422875059273772334748920465176686828278387146286745837622- -5963513812019666116318523496773034540172204911672821777121311023233753056201028915233791006242645175569094643687720066081279067441

f k/226 (R113, z=86): 3∙13∙29∙43∙379∙569∙953∙7129∙7673∙10781∙17053∙61057∙149921∙326881∙116954881∙1080018073∙399917037031∙90086080346641∙890149312207877∙
∙583114533685641932017∙2668049475484462272617∙10891641804884110419738031015227104696030149071135441894139710760258721

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte

• Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 109
• následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 127