Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 112

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 112: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 112: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 100000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 100000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě 100000001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggggggg00000000gggggggg00000000gggggggg00000001. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 112.
Stejnou délku p.h. (t.j. 112) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(7*(2n+1)) (exponent, dělitelný 7), kde je l.p. = 16. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě čtyřicet osm z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 112. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 112n + 1, existují právě dvacet čtyři páry z, jejichž vzájemný součet je roven p.
zdaleka ne každé číslo gggggggg00000000gggggggg00000000gggggggg00000001_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 112n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 112.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₁₂)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₁₂ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 112
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/112 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/112)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p *gggggggg*00000000gggggggg00000000gggggggg00000001_(z) (U₁₁₂)
p	79228162514252248335347805888927345610673686623289386949672959993446400000001	1347137238494236011616409424554801312589016593551210172009792771818298600357148801
z	40	49
f k/112	2^20∙3^2∙5^8∙13∙41∙61∙223∙547∙769∙1601∙3329∙41941∙13685010721∙ ∙6553597440001∙3138446424019681	2^3∙3^2∙5^2∙7^15∙13∙17∙19∙43∙73∙97∙181∙193∙409∙1201∙169553∙104837857∙ ∙33232924804801∙108604397663266369

Další: v soustavě o základu 131:

425620160816387290328399977388452462132591978462945220318261856334691808448346198648712807011374929121

f k/112: 2∙3^2∙5∙11∙13∙113∙131^8∙193∙313∙811∙8581∙9001∙17293∙1303097∙294482761∙30784724017∙1508618696593∙25834730517870128209

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U112)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₁₂)