Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 116

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 116: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 116: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě 101_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 116.
V číselných soustavách, ve kterých jedna devětadvacetina má délku periody l.p. = 4, je číslo gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01 navíc dělitelné 29₍₁₀₎ (dvaceti devíti).
- Délky p.h. 1/29₍₁₀₎ l.p. = 4 jsou v soustavách 12, 17 a ve všech dalších, pro které platí z = 29n + 12 nebo z = 29n + 17
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 29) délku p.h. = l (v našem případě 4), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 4 * 29 = 116).
- Tvar výrazu gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z)/29₍₁₀₎) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
Stejnou délku p.h. (t.j. 116) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(29*(2n+1)) (exponent, dělitelný 29), kde je l.p. = 4. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě padesát šest z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 116. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 116n + 1, existuje právě dvacet osm párů z, jejichž vzájemný součet (v páru) je roven p.
Zdaleka ne každé číslo gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 116n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 116.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₁₆)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₁₆ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 116
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/116 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/116)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z), příp./29* (U₁₁₆)
p	1334402673828313149547634216455312875601	7830180737690995967783421720386927955722346842901104163321719186184830340945285361
z	5	29
f k/116	2^2∙3∙5^2∙313∙449∙19531∙234750601∙ ∙59509429687890001	2^2∙3∙5∙7^2∙29∙353641∙2865913∙88009573∙427822081∙ ∙574995877∙826031641∙596882888281∙73181145732201697

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U116)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₁₆)