Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 7
Tato stránka není ještě hotová.
Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.
Drobečky teorie
[editovat]- V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 7: 1111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
- Repunitová prvočísla o délce 7 (1111111) jsou popsána v článku Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 7. Avšak v soustavách z = 7n + 1 jsou repunity 1111111 vždy součinem 7 * hijklm (neboli typ 123457), kde h je (z - 1)/7, i = 2h, j = 3h, k = 4h, l = 5h a m = 6h + 1. Ne v každé soustavě je hijklm(z) prvočíslo, tak jako například v osmičkové soustavě (123457(8) = 42799(10) je součinem 127(10): * 337(10) = 177(8) * 521(8) (10(8) - 1)/7 = 1; 2*1 = 2; 3*1 = 3; 4*1 = 4; 5*1 = 5 a 6*1 + 1 = 7; v patnáctkové soustavě však: (10(15) - 1)/7 = 2; 2*2 = 4; 3*2 = 6; 4*2 = 8; 5*2 = A a 7*2 + 1 = E=2468AE(15) = 1743463(10) již prvočíslem je. Tudíž v osmičkové soustavě neexistuje unikátní prvočíslo s délkou p.h. l = 7.
- Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
- Některé repunity 1111111 možná (?) mohou být i mocninou prvočísla, případně mohou být mocninou i sedminy takových repunitů (hijklm = pn). V tom případě patřičné odmocniny takových prvočísel by v dané soustavě byly unikátní prvočísla. O takových mi však zatím není známo a je možné, že ani (pro l = 7) neexistují.
- Pokud číslo hijklm(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 7, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
- Prvočísla o délce p.h. l = 7 vždy vyhovují vzorci 14n + 1.
Tabulka nejmenších unikátních p (U7)
[editovat]legenda:
- p - prvočíslo
- U - unikátní prvočíslo
- U7 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 7
- z - základ číselné soustavy
- f - w:faktor
- k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/10 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/14)
- l.p. délka periody 1/p
- l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
- ∙ - znak násobení
- ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
- p(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z
| p(10) | 1743463 | 16968421 | 88009573 | 2277696793 | 54519912973 | 430153757503 | 833266472053 | 31789348345861 | 51951626969131 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| z | 15 | 22 | 29 | 50 | 85 | 120 | 134 | 246 | 267 |
| f k/14 | 3^2∙101∙137 | 2∙3^3∙5∙67^2 | 2∙3∙337∙3109 | 2^2∙3∙7∙1936817 | 2∙3^3∙72116287 | 3∙17∙602456243 | 2∙3∙19∙307∙401∙4241 | 2∙3∙5∙7∙7559∙1430441 | 3^4∙5∙19∙3761∙128221 |
| l.p.(10) | 17262 | 16968420 | 3143199 | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| p(z) | 2468AE | 04:08:12:16:20:25 | 07:14:21:28:35:43 | 12:24:36:48:60:73 | 017:034:051:068:085:103 | 019:038:057:076:095:115 | 035:070:105:140:175:211 | 038:076:114:152:190:229 |
Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.
Sledujte
[editovat]- Předchozí - Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 4, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 5
- následující: Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 8, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 9, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 10
- také: Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 11, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 14, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 21
- Délky period převrácených hodnot prvočísel/Délka l = 7 nebo 14
(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3 nebo Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3, jen z jsou vždy o 1 větší)