Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 164

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 148: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 164: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě 101_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z) neboli zkráceně gg00_[20]+1. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 164.
V číselných soustavách, ve kterých 1/41₍₁₀₎ má délku periody l.p. = 4, je číslo gg00_[20]+1 navíc dělitelné 41₍₁₀₎ (čtyřiceti jednou).
- Délky p.h. 1/41₍₁₀₎ l.p. = 4 jsou v soustavách 9, 32 a ve všech dalších, pro které platí z = 41n + 9 nebo z = 41n + 32.
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 41) délku p.h. = l (v našem případě 4), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 4 * 41 = 164).
- Tvar výrazu gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z)/41₍₁₀₎) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
Stejnou délku p.h. (t.j. 164) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(41*(2n+1)) (exponent, dělitelný 41), kde je l.p. = 4. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě osmdesát z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 164. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 164n + 1, existuje právě čtyřicet párů z, jejichž vzájemný součet (v páru) je roven p.
Zdaleka ne každé číslo gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z) je prvočíslem, jako tomu není ani v desítkové soustavě, kde 99009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 = 68389 * 1447745997018511893740076606031686237538345362413531560645573104006506749609. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 164n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 164.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₆₄)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₄₈ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 164
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/164 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/164)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p gg00_[20]+1 (U₁₆₄)
z	p₍₁₀₎
	f k/164
12	214533033468609789881587657414964984600266163775345550678274661735237806832526209302641
	2^2∙3^2∙5∙11∙13∙17∙89∙97∙233∙521∙19141∙22621∙127921∙260753∙67657441∙85403261∙34182189107670005092862256297738241
34	329562537819074316272124239650230622953491152703571215426796931475017498254917864975811731854079586633098269825927393793101
	3∙5^2∙7∙11∙17^2∙61∙1321∙22571∙47441∙74161∙259631∙1336337∙37642417∙146030641∙6220385881∙9465822281∙1784250435661∙ ∙81428485012798241∙11532658225992275201
41	1053053072365363490511788427723007661607544825281826845956289912111028359860047716294990455815137390857133700328241276578987553601
	2^4∙3∙5^2∙7∙11∙17∙41∙61∙101∙137∙241∙761∙4111∙6121∙7841∙10313∙579281∙103826101∙391810481∙110312844281∙234850742033∙ ∙172971350500321∙2997352253616090431479694499566081
105	495569461057444085548540098423146051361919072546408540611649193653991309058181475895114484495830628175266665250064842238372300728683997426612776768833544776289601
	2^4∙3^2∙5^2∙7^2∙11∙13∙17∙53∙97∙241∙601∙1201∙2129∙102181∙266971∙3956681∙19107761∙60775313∙2104205153∙14773214463789601∙ ∙91795897436543460961121∙2271047275341400850598961∙4556218596862582849832120440241
106	1057865785142857146459978055665808469268527768840097718329328328391716255946809417952775703790908574030407033369765383423447773164729725045162676573527088953694701
	3∙5^2∙7∙11∙53^2∙107∙241∙571∙2251∙5051∙18049∙44641∙182929∙421801∙1957121∙4827377∙33788861∙126247697∙32633432873186401∙ ∙14689343244012169655250401∙1977538405770304235348561240611792602332965138081

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U164)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₆₄)