Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 162

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 162: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 162: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě 1000000000000000000000000001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru ggggggggggggggggggggggggggg000000000000000000000000001_(z) neboli g_[27]0_[26]1_(z), kde g = 10_(z) - 1. Zároveň je repunit o délce 162 součinem 111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) * 1000000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000001. V každě soustavě je i číslo 1000000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000001

_(z) dělitelné číslem 1000000000000000001000000000000000001_(z). Zdaleka ne v každé soustavě je číslo ggggggggggggggggggggggggggg000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (999999999999999999999999999000000000000000000000000001 = 1459 * 2458 921051 * 456502382570032651 * 610600386089858349939139). Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 162. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 162n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 162.

Číslo ggggggggggggggggggggggggggg000000000000000000000000001_(z) můžeme získat také takto: (z²⁷ * (z²⁷ - 1)) + 1.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo g_[27]0_[26]1_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 162, tudíž každé z nich není jediné takové p, a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Stejnou délku p.h. (t.j. 162) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 54. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě 54 z menších, než p.
V soustavách z = 3n - 1 je navíc číslo ggggggggggggggggggggggggggg000000000000000000000000001_(z) dělitelné třemi. Pokud je tento podíl prvočíslem, jedná se také o unikátní prvočíslo, neboť délka p.h. trojky v takové soustavě l = 2 a nikoliv 162.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 81₍₁₀₎.
- Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 12 jsou ve tvaru gg01; unikátní prvočísla o délce p.h. = 24 jsou ve tvaru gggg0001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₆₂)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₆₂ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 162
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/162 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/162)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p g_[27]0_[26]1_(z) nebo jejich třetin* (U₁₆₂)
z	p₍₁₀₎
	f k/162
47*	654882030425179968093039912102168652916003304957123049699692629871329215521645987771337969*
	2^3∙7∙103∙811∙3691∙973459∙40461607∙12722609763441426133∙467219445380569167970074974538592970720883887
74*	28932876333447800790687374581592847450636426714129158640024709358853227305822581232245406514073479851
	5^2∙11∙109∙233∙1801∙2053∙8317∙12853∙56377∙340903∙951373∙4258567∙37114783∙43369453∙83539390331∙6179002188099995593782578363
93	19864572442944828164495799553322547733657523724489018171965132565099075477817365667681222571676617765618293
	2∙3^23∙7x19∙23∙31^27∙307∙1249∙1772011∙10539181∙110919079∙2561148883∙5662196956531
110*	57290649233720637632470138926494538740887916563734485875963335269500023210979513209666666666666666666666666667
	7∙17∙19∙37∙163x571∙997∙22013∙128520569∙190674811∙2868540361∙3049840459∙607673022926500943093217313∙15885260132017519146168944501
134*	2435218066023561030967240863250701801873722516017657750723955950221139320594944593615883461536166400327887964777131
	3^2∙5∙13∙457∙1929778017571∙1736190482239513∙37253556905073817339747∙450482895163952648583608190376808531285832658315071804757

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U162)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₆₂)