Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 166

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 166: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 166: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě 11_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g1_(z) neboli g0_[41] + 1_(z). Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 166. Zdaleka ne v každé soustavě je g0_[41] + 1_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (9090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909091 = 997 * 3565183 * 2097307081 * 7742098247001476863 * 943176903141330068482602900960294299878841). Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 166n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 166.
Stejnou délku p.h. (t.j. 166) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(83*(2n+1)) (exponent, dělitelný 83), kde je l.p. = 2. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě osmdesát dva z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 83₍₁₀₎.
Prvočísla o délce p.h. l = 166 vždy vyhovují vzorci 166n + 1.
Pro soustavy z = 83₍₁₀₎n - 1 navíc platí, že číslo g0_[41]+1_(z) je dělitelné 83.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₅₈)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₆₆ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 166
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/166 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/166)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p g0_[41] + 1_(z) (U₁₆₆)
z	p₍₁₀₎
	f k/166
49	3866380911734019618241543626031338798426216611569286798135214876118312737616752163830071302657876354553711465945211605122959499751752032433
	2^3∙3∙7^2∙4849399∙8999993∙20515909∙33842057∙1636258751∙78009515593∙5449628176194898649∙ ∙4362139336229068656094783∙215399976956807881972039163130016444991137
75	5613985275613120640435570541905884048610058476735189754113812912015406262649504435639126159025911478093155408673714578495889408091706603667453715675755551
	3∙5^2∙37∙5167∙93481∙260023∙275521∙401473∙43502149∙1261598670530415241∙ ∙C15983932411341890122316536570276287463241552149733985421113038419578904211483770633561758079964831C

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U158)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₅₈)