Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 161

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 161: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 161: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111111111111111_(z) * 1000000000000000000000010000000000000000000000100000000000000000000001000000000000000000000010000000000000000000000100000000000000000000001_(z) a zároveň také součinem 1111111_(z) * 10000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000001_(z). Podíl 1000000000000000000000010000000000000000000000100000000000000000000001000000000000000000000010000000000000000000000100000000000000000000001/1111111 je roven podílu 10000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000001/1111111111111111111 a je vždy ve tvaru g000000g000000g000000g0g0000g0g0000g0g0000g0g0g00g0g0g00g0g0g00g0g0g0gg0g0g0gg0g0g0gg0g0g0gggg0g0gggg0g0gggg0g0gggggg0gggggg0gggggg1_(z), kde g = z - 1. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l) = 161.
Stejnou délku p.h. (t.j. 161) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani dvaceti třemi, ani sedmi, natož sto šedesáti jednou. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě 132 z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 322.
Zdaleka ne každé číslo g000000g000000g000000g0g0000g0g0000g0g0000g0g0g00g0g0g00g0g0g00g0g0g0gg0g0g0gg0g0g0gg0g0g0gggg0g0gggg0g0gggg0g0gggggg0gggggg0gggggg1_(z) je prvočíslem, jako tomu není ani v desítkové soustavě, kde 900000090000009000000909000090900009090000909090090909009090900909090990909099090909909090999909099990909999090999999099999909999991 = 6763 * 472341157 * 11273170771131750391 * 1626777403161656797092007877 * 15362898429170396757717888856328974146292496901433891193564055671816191643.
Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 322n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 161.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₆₁)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₆₁ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 161
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/322 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/322)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
C - součin neznámých velkých prvočísel; faktorizace tohoto součinu není pro účely této stránky důležitá

Tabulka nejmenších unikátních p g000000g000000g000000g0g0000g0g0000g0g0000g0g0g00g0g0g00g0g0g00g0g0g0gg0g0g0gg0g0g0gg0g0g0gggg0g0gggg0g0gggg0g0gggggg0gggggg0gggggg1_(z) (U₁₆₁)
z	p₍₁₀₎
	f k/322
3	636961216046002471921398696960338364910115196955450597747751689
	2^2∙3∙13^2∙67∙71∙661∙3779∙3851∙21315923137731664280804562894805062506238571
5	146938674667821698939790140544890177855634270543389059647071922199454271085510730718993828121
	2^2∙3^2∙5∙7^2∙31∙67∙653∙5281∙429973∙985679∙12207031∙36508639201∙544636074221∙70219386446177751687956127092673919
21	1512134710625359182710826131546162246300137193759909163237305246383598139484384235979923693814351329861552741168841189462634504686580121942602056216734543088049541748753334157419
	3^2∙11∙13^2∙67∙89∙353∙463∙499∙16968421∙72971869∙1176469537∙285451051007∙ ∙C1387977503524376321472912579452115626701820316610255161640783627654136141425327020382864123341926335791281474669812419984223C
39	1021520571881248865448924279480518969911510936925115936199292276136137237102474929266746867426810601344372605311536057225346467776657397676961369837486440791936034223734861727199926781087682827996529765681458161
	2^3∙3∙5∙13∙19∙89∙223∙1483∙2531∙12211∙16139∙1612564493∙649979193601∙2454785696163539509997∙ ∙C2833524001977995908794884142533807972068960636714747636511387206825514774679740563571579064985498733481660560294880784380099335115767175173113C
60	5112882495901326730731311404232842971497449341732752431353514200956692337276693846365077251700983530897203167596001959072791511004638268989482046226019672564733530085046450472923120958088830972795461773754520629747431833434837759999941
	2∙3∙5∙59∙61∙199∙523∙2677∙3541∙5730733∙2748456407∙607920482413∙129943035204533∙10444491997120651∙17573180645422037∙614910264406779661∙ ∙C1061523290747716202211935600959485901425444054309869115487680401299764260766681025993682005634243585995372716652494612902533C
68	76690640909701678438072498748657246127676203441382797773742142923237877518160089330020829421765357344827120501980523437932910515649349755003847655810583267145402997075871835675075019862435166200900432112186724565104361506674825174402425634749
	2∙3^2∙7^2∙13^2∙17∙19^2∙31∙67∙661∙222707∙244411∙4103817461∙9354381575551∙3245800161914113∙ ∙C27961316598728652744719720561465351930377950412564248251506595465813067709277836395191907714202275673881723523471049749861324981069775649536145118375762626248868160837630189237C
86	2232112289608982273372746882397359899446955860763020610749579523535536495522354919704701933281280847028913997387214038313236190855455635624521520921209735898170757731768573547219663636919066742996706683911714304312536611207063648290392278794608279647367211
	3^2∙5∙17∙19∙29∙43∙71∙271∙307∙1069∙1453∙2437∙536869∙654591347972629∙1636652706080279∙22390512687494871811∙ ∙C1328173021526602224610480725828301392456059616080522672788311554313698394438298306450972776915154688788366324245096483650280024340505483643879783547052325991862170668431011967C

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U161)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₆₁)