Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 143

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 143: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 143: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111111 * 10000000000001000000000000100000000000010000000000001000000000000100000000000010000000000001000000000000100000000000010000000000001 a zároveň také součinem 11111111111 * 1000000000010000000000100000000001000000000010000000000100000000001000000000010000000000100000000001000000000010000000000100000000001. Podíl 10000000000001000000000000100000000000010000000000001000000000000100000000000010000000000001000000000000100000000000010000000000001/1111111111111 je roven podílu 1000000000000100000000000010000000000001000000000000100000000000010000000000001000000000000/11111111111 a je vždy ve tvaru g0000000000g0g00000000g0g0g000000g0g0g0g0000g0g0g0g0g00g0g0g0g0g0gg0g0g0g0g0gggg0g0g0g0gggggg0g0g0gggggggg0g0gggggggggg1_(z), kde g = z - 1. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l) = 143.
Stejnou délku p.h. (t.j. 143) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani třinácti, ani jedenácti, natož sto čtyřiceti třemi. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě 120 z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 286.
Zdaleka ne každé číslo g0000000000g0g00000000g0g0g000000g0g0g0g0000g0g0g0g0g00g0g0g0g0g0gg0g0g0g0g0gggg0g0g0g0gggggg0g0g0gggggggg0g0gggggggggg1_(z) je prvočíslem, jako tomu není ani v desítkové soustavě, kde 900000000009090000000090909000000909090900009090909090090909090909909090909099990909090999999090909999999909099999999991 = 2823679 * 180523201 * 47428676444591705727929369346443 * 37226581283489953701472184267606576037130878873797366013283473311751294203. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 286n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 143.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₄₃)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₄₃ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 143
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/286 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/286)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p g0g0g0g0g0gg0g0g0g0g0gggg0g0g0g0gggggg0g0g0gggggggg0g0gggggggggg1_(z)(U₁₄₃)
z	p₍₁₀₎
	f k/286
3	1198014380856762535048758241151960180137876946928788681521
	2^3∙3∙5∙7^2∙11∙61∙73∙2949487∙4930906931234836010139247916483693439259
73	39151900722248420063087371381925525419154909226243525748579721877257672537242927018065473447072989265532843727071959564890448874290288969457436837837682373110919970842939541375681557588487834865991418661832992049137365572961
	2^4∙3^3∙5∙7^2∙37∙41∙73∙131∙751∙1801∙3037∙9349∙19441∙28792661∙ ∙4147565412537064214348861260992563461957668101752625797782823313265445932296480790437165768011949715468110202590003273530589576218612879284584235100568474550133651488233281073643560623
130	46757214939162233773315681285821762226672569048971673107467622592780939230245019991826524204697480698380916756273886309544852213342371318977962824543956744685613338996351713801382509185950871858693779731083374678418857197331638592983626910552699999999871
	3^2∙5∙7∙11∙31∙43∙131∙193∙541∙811∙9391∙16901∙19417∙30181∙1479757∙2378711∙136717296281∙ ∙71286443125077870563744730326866886711324111845071855148487272407106750989913272941663809570002084523245522123385665836325564477260551886585736510950747761040893706551544161571437752511906758413

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U143)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₄₃)