Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 124

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 124: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 124: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě 101_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 124.
Stejnou délku p.h. (t.j. 124) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(31*(2n+1)) (exponent, dělitelný 31), kde je l.p. = 4. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě šedesát z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 124. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 124n + 1, existuje právě třicet párů z, jejichž vzájemný součet (v páru) je roven p.
Zdaleka ne každé číslo gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z) je prvočíslem, jako tomu není ani v desítkové soustavě, kde 990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 je součinem 2049349 * 483128549554512237305554588359039822397307149685578249. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 124n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 124.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₂₄)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₂₄ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 124
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/124 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/124)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z) (U₁₂₄)
p	47552767764994953232854569779888803761183529901	751114601164400963558298106851275193494354988352771579238818981647550964507812890001
z	6	25
f k/124	3^2∙5^2∙7∙11∙13∙43∙61∙97∙101∙181∙241∙311∙ ∙1171∙1201∙3541∙6781∙74161∙1950271	2^2∙3^2∙5^4∙7∙11∙13∙41∙61∙71∙181∙241∙521∙601∙1741∙2281∙7621∙9161∙ ∙390001∙69566521∙632133361∙23320317172851318360001

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U124)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₂₄)