Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 49

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 49: 1111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 49: 1111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1000000100000010000001000000100000010000001_(z) * 1111111_(z).
V číselných soustavách o základu z = 7n + 1 je navíc číslo 1000000100000010000001000000100000010000001_(z) dělitelné 7 (sedmi).
- Takovýto podíl je potom ve tvaru 111111122222223333333444444455555556666667, kde "1" = (z - 1)/7, "2" = 2 * "1" atd. neboli aaaaaaabbbbbbbcccccccdddddddeeeeeeeffffffg, kde opět a = (z - 1)/7, b = 2a atd. Například v osmičkové soustavě je číslo 111111122222223333333444444455555556666667₍₈₎ (= 12152947470724737998788815750591901111₍₁₀₎) součinem 100402010040201₍₈₎ * 1104444555111122222001111067₍₈₎ ( = 4432676798593₍₁₀₎ * 2741672362528725535068727₍₁₀₎).
Ne v každé soustavě je číslo 1000000100000010000001000000100000010000001_(z) (nebo v příslušných soustavách jeho sedmina ve tvaru aaaaaaabbbbbbbcccccccdddddddeeeeeeeffffffg) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo 1000000100000010000001000000100000010000001_(z) (nebo v příslušných soustavách jeho sedmina ve tvaru aaaaaaabbbbbbbcccccccdddddddeeeeeeeffffffg) je složené, mají faktory délku p.h. l = 49, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
Prvočísla o délce p.h. l = 49 vždy vyhovují vzorci 98n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₄₉)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₄₉ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 49
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/98 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/98)
l.p. délka periody 1/p
p_(z) - prvočíslo, zapsané v soustavě z
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 1000000100000010000001000000100000010000001_(z) nebo jejich sedmin* (U₄₉)
p	4432676798593	227376585863531112677002031251	324819536347890139690467821700232370\ \24034772600533621651785825892857143*	797344307913386996968846432224565721530\ \7963088727984295006401811829181849	190744032129434864322712162983079767192\ \2311527145210524193476739720909598593
z	2	5	50*	57*	62
f k/98	2^6∙3^2∙43∙ ∙337∙5419	3^2∙5^7∙29∙31∙43∙127∙379∙ ∙449∙7603∙519499	3∙7∙16788089∙2277696793∙5027982601∙ ∙82092944333969148857896114223314586034487	2^2∙3∙6373∙68713∙72577∙6862185591301∙ ∙3031808458375787∙10253981167480557535012280323	2^6∙3^3∙13∙29∙31^7∙43∙97∙617∙631∙3907∙11299∙25033∙ ∙446293∙518113∙387858661∙6747437142434647

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U49)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₄₉)