Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 126

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 126: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 126: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) * 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z)]. V žádné soustavě není 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě čísly 10000000001_(z), 10000001_(z) a 1001_(z), nikoliv však všemi zároveň. Tento podíl je vždy ve tvaru 1000gggggbggg000000gggggbggg000001001_(z). Ne v každé soustavě je 1000gggggbggg000000gggggbggg000001001_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (1000999998999000000999998999000001001 = 5274739 * 189772422673235585874485732659).
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo 1000gggggbggg000000gggggbggg000001001_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 126, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Stejnou délku p.h. (t.j. 126) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 42 (nebo 14, pokud je exponent dělitelný i 9, nebo 6, pokud je exponent dělitelný i 21, nebo 2, pokud je exponent dělitelný i 63) a všech z^(7*(2n+1)) (exponent, dělitelný 7), kde je l.p. = 18. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě třicet šest z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (z je z výše uvedených pro l = 126) platí, že jejich l.p. = 63₍₁₀₎.
Prvočísla o délce p.h. l = 126 vždy vyhovují vzorci 126n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₂₆)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₂₆ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 126
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/126 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/126)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 1000gggggbggg000000gggggbggg000001001_(z) (U₁₂₆)
p	77158673929	68728066670457765494784262143995903488000008001	324519187483726838480000407332117486956832813413264389046272000512001
z	2	20	80
f k/126	2^2∙3∙73∙ ∙699053	2^5∙3∙5^3∙11∙19∙43∙127∙421∙647∙92863∙7745807∙ ∙64008001∙3175658923	2^11∙3^4∙5^3∙7∙19∙43∙79∙181∙569∙1297∙1531∙5107∙6481∙ ∙49789∙760261920653∙1072968897999334811

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U126)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₂₆)