Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 123

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 123: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 123: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) dělitelné 11111111111111111111111111111111111111111_(z) a 111_(z) (bez ohledu na to, zda tito činitelé jsou či nejsou prvočísly). Tento podíl je vždy ve tvaru g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1, neboli g00_[13]g0_[1]gg0_[13]+1, kde g = 10_(z) - 1. Ne v každé soustavě je g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (90090090090090090090090090090090090090090990990990990990990990990990990990990991 = 1811791 * 626920594693 * 9425856976319889649 * 8414640003465161203119978906558054839526493₍₁₀₎). Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 246n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 123.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 123, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Stejnou délku p.h. (t.j. 123) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani 41, natož 123. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě osmdesát z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 246.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₂₃)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₂₃ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 123
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/246 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/246)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) (U₁₂₃)
z	p₍₁₀₎
	f k/246
12	198135604158907130782358027548853011255022891234380210220638216697707952818607731672501
	2∙5^4∙11∙13∙29∙89∙233∙521∙19141∙22621∙127921∙67657441∙85403261∙ ∙190355335559516987∙236062157742673716722171
101	21947696719983124385066704159959231751871274005191652359606583584675139749998479259500636791395923135462895054635303473367994262409510140199201419757772733404001
	2^4∙5^3∙11∙17∙23∙31∙89∙101∙173∙491∙1381∙5101∙163601∙584609∙9367291∙515674241∙10827505640180401∙33899768126719721∙ ∙366807904686077468126907574188335405460295126908674725508007647256411508319

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U123)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₂₃)