Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 125

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 125: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 125: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111111111111111111 * 10000000000000000000000001000000000000000000000000100000000000000000000000010000000000000000000000001.
V číselných soustavách o základu z = 5n + 1 je navíc číslo 10000000000000000000000001000000000000000000000000100000000000000000000000010000000000000000000000001_(z) dělitelné 5 (pěti).
- Takovýto podíl je potom ve tvaru aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbcccccccccccccccccccccccccdddddddddddddddddddddddde, kde "a" = (z - 1)/5, "b" = 2 * "a", "c" = 3 * "a", "d" = 4 * "a" a "e" = "d" + 1. Například

22222222222222222222222244444444444444444444444466666666666666666666666668888888888888888888888889₍₁₁₎ = 27561224679644540368236674598558347831541633213648529760766838849472718195538068797002212800877635660501₍₁₀₎ a je součinem 1632185486501₍₁₀₎ * 27678437808551251₍₁₀₎ * 610080895141084967819354988677284050229269951248774263726574682822715310251₍₁₀₎, přičemž všichni tři tito činitelé mají v jedenáctkoví soustavě délku převrácené hodnoty l = 125 a nejsou tedy unikátními prvočísly.

Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo 10000000000000000000000001000000000000000000000000100000000000000000000000010000000000000000000000001_(z) (nebo v příslušných soustavách jeho pětina) je složené, mají faktory délku p.h. l = 125, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Stejnou délku p.h. t.j. l = 125 mají nahoře uvedená prvočísla i ve všech číselných soustavách o základu z₀ⁿ, kdy exponent není dělitelný pěti, případně zbytky po dělení těch soustav zkoumaným prvočíslem.
Prvočísla o délce p.h. l = 125 vždy vyhovují vzorci 250n + 1.
- V desítkové soustavě jsou taková prvočísla vždy zakončena dvojčíslím 51 nebo 01.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₂₅)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₂₅ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 125
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/250 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/250)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 10000000000000000000000001000000000000000000000000100000000000000000000000010000000000000000000000001_(z) nebo jejich pětin* (U₁₂₅)
p	6823598997795498891184904275819979065646805911943965568431935722662685275754621344484980119183494876540582976547779208790358047143953388285843469288046147854665713516369819263001*
z	61
f k/125	2^2∙3∙131∙21491∙50951∙809779∙10774493∙342989401∙359398201x16203819081551∙ ∙909859371088321827100109209967509738417483837167668151994557056616301496895421803577123038154474495328832952299114532883

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 10000000000000000000000001000000000000000000000000100000000000000000000000010000000000000000000000001_(z) (U₁₂₅)
p	2400889076051242533081485751689957610501815169116083341263704756645033005604679951980125910116005040435297504342006545571625915563122973120416109447218745259868684976267225783881067962982759840275372477564512001
z	127
f k/125	2^7∙11∙41∙101∙127^25∙1613∙6121∙89101∙212801∙395201∙572311∙15042701∙2211110558021∙437785964121601∙678846861844951∙ ∙92564905412519951∙1080069664870156400414719583390413988260943007973157101

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U125)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₂₅)