Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 97

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 97: 111...111₉₇. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
   1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5, osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73 a sedmadvacítková soustava, kde opět R₃ (111) je 757.
   2. V soustavách o základu 97n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 97.
   3. Kromě prvočísla 97, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 97) vyhovují vzorci 194n + 1 (p).
   4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
   5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 96; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně devadesát šest (protože 97 - 1 = 96) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 96.
   6. V devadesáti šesti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 194 (111...111)₁₉₄.
3. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 97)

legenda:

• p - prvočíslo
• R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
• z - základ číselné soustavy
• f - w:faktor
• k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
• ∙ - znak násobení
• ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 97)

z	p
12	43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581
90	4093863979838084637086070221417358345728849010548457884042708369770695440904150413748010959202247191011235955056- -1797752808988764044943820224719101123595505617977528089887640449438202247191
104	4359098546667839043191406226818294979389862539237468030543174354221738614402824423666640434307622655437982072990- -6288718575863711302814911729260494809016011647210683618069608192020970996831675561

f k/194 (R97, z=12):

2∙3∙5∙7∙13∙17∙19∙29∙89∙157∙193∙233∙7489∙7681∙20593∙40609∙153953∙260753∙2227777∙3122881∙592734049∙1200913648289∙
∙1461573322938242802306049

f k/194 (R97, z=90):

3^2∙5∙7∙13∙17∙61∙73∙937∙1201∙8011∙8101∙8191∙14753∙81937∙1075441∙2944817∙52400401x65610001∙85987009∙179822497∙
∙550088321∙12697650241∙325801596916801∙4625772934321323745921∙2348827096735313607451873∙226151822601735549206437873

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte

• Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 89
• následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 101