Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 101

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 101: 111...111₁₀₁. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
   1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5, osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73 a sedmadvacítková soustava, kde opět R₃ (111) je 757.
   2. V soustavách o základu 101n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 101.
   3. Kromě prvočísla 101, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 101) vyhovují vzorci 202n + 1 (p).
   4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
   5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 100; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně sto (protože 101 - 1 = 100) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 100.
   6. Ve stu soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 202 (111...111)₂₀₂.
3. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 101)

legenda:

• p - prvočíslo
• R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
• z - základ číselné soustavy
• f - w:faktor
• k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
• ∙ - znak násobení
• ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 101)

z	p
22	183008587185686382463990324637320953320837310043368635798071351514153885495074157291280114234852- -009963364388505069863557549045985325251
78	164083211100716115598408654483235163684153025169453080031818634476118020982636905727617379073566357131628638979- -7000020471966761382265174431904941525340333734144711181419576818332830180624251
164	3069312078278845364246012296956043269744802440878587497478033222027045638260388781796312480458196262902574276782- -47760033376322691083613186297111822167985579370919885023138528805405261250078028477103298332890880045608160501

f k/202 (R101, z=22):

5^3∙11∙23∙97∙181∙401∙150901∙154001∙224071∙245411∙727351x62354037124651∙705429635566498619547944801∙
∙99526155523386517795939084649761136645007637099165901

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte

• Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 97
• následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 103