Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 87

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 87: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 87: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) dělitelné 11111111111111111111111111111_(z) a 111_(z) (bez ohledu na to, zda tito činitelé jsou či nejsou prvočísly). Tento podíl je vždy ve tvaru g00g00g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1, kde g = 10_(z) - 1. Ne v každé soustavě je g00g00g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) prvočíslo, tak jako tomu není například v desítkové soustavě. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 174n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 87.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo g00g00g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 87, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Stejnou délku p.h. (t.j. 87) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani dvaceti devíti, natož osmdesáti sedmi. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě padesát šest z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 174.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₈₇)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₈₇ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 87
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/174 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/174)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p g00g00g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) (U₈₇)
p	328017025014102923449988663752960080886511412965881	138039202551886811051656379000595379114410970054365084709582198180836351736189201	10554283524713322063439524093053015731062173239230797458293248410684435663761816439681
z	8	27	33
f k/174	2^2∙3∙5∙7^2∙13∙43∙107∙113∙127∙337∙1429∙5419∙14449∙ ∙19810844310673733755267	2^3∙3^2∙5^2∙7^2∙13∙43∙73∙547∙1093∙2269∙2857∙16493∙368089∙109688713∙ ∙85404996018275966787919149464031775919	2^6∙5∙11∙17∙109∙197∙421∙219409∙3163483∙43720823∙44240059∙1666359341086055617∙ ∙50121086195379584814890117

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U87)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₈₇)