Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 108

Z Wikiverzity
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie[editovat]

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 108: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 108: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) součimem 111111111111111111111111111111111111111111111111111111(z) * 1000000000000000000000000000000000000000000000000000001(z). V každě soustavě je i toto druhé číslo dále dělitelné číslem 1000000000000000001(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggggggggggggggggg000000000000000001(z), kde g = 10(z) - 1. Ne v každé soustavě je gggggggggggggggggg000000000000000001(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (999999999999999999000000000000000001 = 109 * 153469 * 59779577156334533866654838281.
  3. Číslo gggggggggggggggggg000000000000000001(z) můžeme získat také takto: (z9 + 1) * z18 * (z9 - 1) + 1 neboli (z18 * (z18 - 1)) + 1.
  4. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  5. Pokud číslo gggggggggggggggggg000000000000000001(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 108, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka: gggggggggggggggggg000000000000000001.
  6. Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
  7. Prvočísla o délce p.h. l = 108 vždy vyhovují vzorci 108n + 1.
    • Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 12 jsou ve tvaru gg01; unikátní prvočísla o délce p.h. = 18 jsou ve tvaru ggg001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).

Tabulka nejmenších unikátních p (U108)[editovat]

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U108 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 108
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/108 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/108)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
  • p(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z
Tabulka nejmenších unikátních prvočísel gggggggggggggggggg000000000000000001(z) (U108)
p 150094634909578633 14551915228363037109375001 10314424798490535546171949055999898440043331584000000000000000001 12012211336350227316446820100278884459740204090400229572220196698193
z 3 5 60 73
f k/108 2∙3^15∙7∙13∙19∙37∙757 2∙5^18∙7∙19∙31∙829∙5167 2^34∙3^15∙5^18∙7∙19∙59∙61∙523∙3541∙2455567579∙46656216001 2^2∙3∙7∙19∙37∙73^18∙181∙751∙1801∙4668471∙151333837273

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte[editovat]

Repunity[editovat]