Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 108

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 108: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 108: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součimem 111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) * 1000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z). V každě soustavě je i toto druhé číslo dále dělitelné číslem 1000000000000000001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggggggggggggggggg000000000000000001_(z), kde g = 10_(z) - 1. Ne v každé soustavě je gggggggggggggggggg000000000000000001_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (999999999999999999000000000000000001 = 109 * 153469 * 59779577156334533866654838281.
Číslo gggggggggggggggggg000000000000000001_(z) můžeme získat také takto: (z⁹ + 1) * z¹⁸ * (z⁹ - 1) + 1 neboli (z¹⁸ * (z¹⁸ - 1)) + 1.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo gggggggggggggggggg000000000000000001_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 108, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka: gggggggggggggggggg000000000000000001.
Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
Prvočísla o délce p.h. l = 108 vždy vyhovují vzorci 108n + 1.
- Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 12 jsou ve tvaru gg01; unikátní prvočísla o délce p.h. = 18 jsou ve tvaru ggg001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₀₈)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₀₈ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 108
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/108 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/108)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
p_(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z

Tabulka nejmenších unikátních prvočísel *gggggggggggggggggg*000000000000000001_(z) (U₁₀₈)
p	150094634909578633	14551915228363037109375001	10314424798490535546171949055999898440043331584000000000000000001	12012211336350227316446820100278884459740204090400229572220196698193
z	3	5	60	73
f k/108	2∙3^15∙7∙13∙19∙37∙757	2∙5^18∙7∙19∙31∙829∙5167	2^34∙3^15∙5^18∙7∙19∙59∙61∙523∙3541∙2455567579∙46656216001	2^2∙3∙7∙19∙37∙73^18∙181∙751∙1801∙4668471∙151333837273

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U108)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₀₈)