Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 130

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 130: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 130: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součimem 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) * 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z). V žádné soustavě není 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné čísly 100001_(z) a 10000000000001_(z) nebo (oběma, nikoliv však oběma současně; tedy jejich nejmenším společným násobkem) (bez ohledu na to, zda tato čísla jsou/nejsou prvočísla). Tento podíl je vždy ve tvaru 10gggbg00010gbbbg01110gbbg01110gbbbg010gggbg00011_(z), kde g = z - 1 a b = z - 2.
Pokud je tento výsledek prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 130.
Stejnou délku p.h. (t.j. 130) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 26 (nebo 2, pokud je exponent dělitelný i 65) a všech z^(13*(2n+1)) (exponent, dělitelný 13), kde je l.p. = 10 (nebo 2, pokud je exponent dělitelný i 65). Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě čtyřicet osm z menších, než p.
Prvočísla o délce p.h. l = 130 vždy vyhovují vzorci 130n + 1.
Pro (kladné) základy p - z (z je z výše uvedených pro l = 130) platí, že jejich l.p. = 65₍₁₀₎.
zdaleka ne každé číslo 10gggbg00010gbbbg01110gbbg01110gbbbg010gggbg00011_(z) je prvočíslem, jako tomu není ani v desítkové soustavě (1099989000109888901110988901110988890109998900011 = 131 * 8396862596258693901610602298557167100076327481). Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 130n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 130.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₃₀)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₃₀ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 130
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/130 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/130)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
p_(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z

Tabulka nejmenších unikátních prvočísel 10gggbg0000gbggg01001000gbggg00gggbg00011_(z) (U₁₃₀)
z	p₍₁₀₎
	f k/130
3	105919308797935444986721
	2^4∙3∙7∙73∙277∙379∙683∙3187∙145361
68	9263348169668545409444555453956171464965073911228047587885243226707320246468391233170501
	2∙3^2∙5^2∙7^3∙17∙19^2∙23∙31∙37∙67∙109∙196117∙104090561∙ ∙19126818346217284909794959576722061447000554830068964233
79	12347052008750258066713043474554711009549083180910212478989132651373915743894708125960983681
	2^6∙3^2∙7^2∙43∙79∙1627∙3121∙3169∙3823∙6163∙12289∙7717257001∙265675799239∙ ∙103698932320976396928113482270961697661

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U130)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₃₀)