Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 47

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 47: 11111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunitová prvočísla o délce 47 (11111111111111111111111111111111111111111111111) jsou popsána v článku Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 47. Avšak v soustavách z = 47n + 1 jsou repunity 11111111111111111111111111111111111111111111111 vždy součinem 47 * číslo typu 123456789:10:11:12:13:14:15:16:17:18:19:20:21:22:23:24:25:26:27:28:29:30:31:32:33:34:35:36:37:38:39:40:41:42:43:44:45:47, kde 1 je (z - 1)/47, 2 = 2*1, 3 = 3*1, 4 = 4*1 atd. až 47 = (46 + 1)*1 . Ne v každé soustavě je takovéto číslo_(z) prvočíslo, jako například v soustavě o základu 48: (01:02:03:04:05:06:07:08:09:10:11:12:13:14:15:16:17:18:19:20:21:22:23:24:25:26:27:28:29:30:31:32:33:34:35:36:37:38:39:40:41:42:43:44:45:47₍₄₈₎ = 4722178948463287678951043319465547082453504181543309784039325308254316405919₍₁₀₎) je součinem: 12409₍₁₀₎ * 50291₍₁₀₎ * 12121306957₍₁₀₎ * 624260614519341189444454570737302439190642520992875859393₍₁₀₎. Tudíž v soustavě o základu 48 neexistuje unikátní prvočíslo s délkou p.h. l = 47.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo typu 123456789:10:11:12:13:14:15:16:17:18:19:20:21:22:23:24:25:26:27:28:29:30:31:32:33:34:35:36:37:38:39:40:41:42:43:44:45:47_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 47, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Prvočísla o délce p.h. l = 47 vždy vyhovují vzorci 94n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₄₇)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₄₇ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 47
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/94 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/94)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
\
\ - rozdělení jednoho čísla do dvou řádků
C: - číslo složené; jeho faktorizace je příliš náročná, pro účely tohoto projektu její dokončení není důležité

Viz též

w:en:Unique prime

Tabulka

Tabulka nejmenších unikátních p typu *123456789:10:11:12:13:14:15:16:17:18:19:20:21:22:23:24:25:26:27:28:29:30:31:32:33:34:35:36:37:38:39:40:41:42:43:44:45:47*_(z) (U₄₃)
z	p₍₁₀₎	f k/94
2492	37092508076563243826227252672063459040565419572191989745341084974115990776249\ \918784705089733788845484120379578845434240483946810506288172643906546657399811	5∙53∙6287∙9941∙1900441∙22449276221∙C558447309999517954156220712714762777066108406\ \644265770435634988708737601831214726917763037189952994108080432754805072432069793

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity