Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 105

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 105: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 105: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) dělitelné čísly 11111111111111111111111111111111111_(z) nebo 111111111111111111111_(z) nebo 111111111111111_(z) (35, 21 a 15 jedniček) nebo jejich nejmenším společným dělielem (n), nikoliv však vícero z nich současně. Podíl toho čísla (ze 105 jedniček) a nejmenšího společného násobku dále uvedených je vždy (v každé soustavě) ve tvaru 110ggbbhbg00111110ggbgbgbgbgg00111110ggbbhbg00111_(z), kde g = z - 1, b = z - 2 a h = z - 3. (Pro dvojkovou soustavu to znamená změny v okolních cifrách). Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 105.
Stejnou délku p.h. (t.j. 105) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani pěti, ani sedmi, natož patnácti, dvaceti jednou nebo třiceti pěti. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě 48 z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 210.
Zdaleka ne každé číslo 110ggbbhbg00111110ggbgbgbgbgg00111110ggbbhbg00111_(z) je prvočíslem, jako tomu není ani v desítkové soustavě, kde 1109988789001111109989898989900111110998878900111 = 30703738801 *

625437743071 * 57802050308786191965409441. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 210n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 105.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₀₅)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₀₄ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 105
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/105 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/105)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 110ggbbhbg00111110ggbgbgbgbgg00111110ggbbhbg00111_(z) (U₁₀₅)
p	42693162668620904426304495389707999425601	22832698711357981223057247374907077389765848479071322392852181540132857844696246403661
z	7	60
f k/210	2^5∙3∙5∙19∙41∙43∙67∙1201∙252481∙270311∙ ∙2302404640046323	2∙13∙17∙59∙61∙277∙281∙523∙929∙2713∙3541∙215689∙1023079∙ ∙210564111929∙4048863193133899087456825567343463509

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U105)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₀₅)