Integrál

Integrál
přednáška v předmětu Vybrané kapitoly z matematiky
pro bakalářský studijní obor Radiologická asistence
na 2. lékařské fakultě Univerzity Karlovy
Ústav biofyziky

Přednášející: Petr Heřman / Gracian Tejral

[ Skin: minerva | vector-2022 | vector | monobook | timeless | cologneblue | modern ]

Integrál určitý a neurčitý

Spirometrie

Turbínka spirometru

Spirometrická křivka

Amslerův planimetr

Derivace nám říká, jak se mění nějaká funkce.

V praxi ale někdy můžeme změřit jen to, jak se nějaká funkce mění, a nikoli tu funkci samotnou.

Příklad 1: Spirometrie

Spirometr nám měří průtok vzduchu přístrojem, ale my potřebujeme zjistit vitální kapacitu plic:

• Známe průtok $Q$ [L/s]
• Chceme zjistit celkový objem vzduchu, který prošel při maximálním výdechu $V$ [L]

Kdyby byl průtok v čase konstantní, tak celkový objem, který prošel za čas $t$ [s], zjistíme jednoduše vynásobením:

$V=Q\cdot t$

V našem případě však průtok konstantní není, a tak musíme spočítat "plochu pod křivkou" neboli integrál.

• Dříve:
  • čtverečkovaný nebo milimetrový papír, počítáme čtverečky
  • planimetr
• Dnes: Digitálně (numericky)

Zapíšeme:

$V_{vital}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}Q(t)\ \mathrm {d} t$

Problém je, že takto mohu zjistit jen změnu celkového objemu plic (vitální kapacitu), ale nezjistím minimální (reziduální) a maximální objem plic, protože v plicích i při maximálním výdechu vždy nějaký objem vzduchu zůstane.

$V_{celk}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}Q(t)\ \mathrm {d} t+V_{rezid}$

Příklad 2: Rychlost a dráha rovnoměrně zrychleného pohybu

Dráha:

$s(t)={\frac {1}{2}}a\cdot t^{2}$

Rychlost je derivací dráhy:

$v(t)=s'(t)={\frac {1}{2}}\cdot 2\cdot t=a\cdot t$

Ale jak jsme na ten vzoreček pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu přišli? Vtip je ovšem v tom, že jsme si nejdříve zadefinovali, že rovnoměrně zrychlený pohyb je ten pohyb, který má konstatní zrychlení $a=konst$ a teprve potom jsme si mohli odvodit nějaký vzoreček pro dráhu. Tedy museli jsme naopak:

$v(t)=a\cdot t$

a teprve potom:

$s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\ \mathrm {d} t$

A teď je problém: Co když jsme v čase $t_{1}$ už někde byli, nějakou dráhu jsme urazili nějakým jiným druhem pohybu apod.? Tak tu dráhu na začátku musíme k té dráze, kterou jsme urazili tímto rovnoměrně zrychleným pohybem, ještě přičíst jako nějakou konstantu:

$s_{celk}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\ \mathrm {d} t+s(t_{1})$

Primitivní funkce

Pokud znám derivaci nějaké funkce a teprve hledám tu prvotní funkci, k níž znám pouze tu její derivaci, pak tomu říkáme hledání primitivní funkce.

Ve výše uvedeném případě:

• Znám derivaci primitivní funkce:

$v(t)=s'(t)=a\cdot t$

• Hledám tu primitivní funkci:

$s=\int v(t)\ \mathrm {d} t$

Teď jsme si odpustili limity od $t_{1}$ do $t_{2}$, tak tomu říkáme neurčitý integrál. Výsledkem bude nějaká funkce, ke které ovšem budeme nakonec moci přičíst nějakou konstantu $C$, o které nevíme, jak bude velká, protože derivace konstanty je nula.

Vím, že když bylo:

$y'=2x^{1}=2x$

tak:

$y=x^{2}$

Při derivování jsme tím exponentem vše vynásobili a pak jsme ho zmenšili o jedničku.

Z toho usoudíme, že při integrování exponent naopak musíme zvětšit o jedničku a pak s ním ještě ten výsledek vydělit.

Související stránky

• Derivace
• Fyzikální systém a jeho modelování na příkladech z mechaniky
• Diferenciální rovnice

Odkazy

• w: Integrál
• w: Primitivní funkce
• w: Určitý integrál:
  • w: Newtonův integrál – založený na hledání primitivní funkce
  • w: Riemannův integrál – založený na geometrické interpretaci plochy pod křivkou.

• Khan Academy: Diferenciální počet
• aristoteles.cz: Matematika
• Příklady EU: Derivace
  • Derivace funkce
  • Derivace složené funkce
• TRIAL, Diferenciální počet – Katedra matematiky, Západočeská univerzita
• Wolfram MathWorld: Derivative (anglicky)