Integrál

Integrál
přednáška v předmětu Vybrané kapitoly z matematiky
pro bakalářský studijní obor Radiologická asistence
na 2. lékařské fakultě Univerzity Karlovy
Ústav biofyziky

Přednášející: Petr Heřman / Gracian Tejral

Integrál určitý a neurčitý[editovat]

Derivace nám říká, jak se mění nějaká funkce.

V praxi ale někdy můžeme změřit jen to, jak se nějaká funkce mění, a nikoli tu funkci samotnou.

Příklad 1: Spirometrie

Spirometr nám měří průtok vzduchu přístrojem, ale my potřebujeme zjistit vitální kapacitu plic:

Známe průtok $Q$ [L/s]
Chceme zjistit celkový objem vzduchu, který prošel při maximálním výdechu $V$ [L]

Kdyby byl průtok v čase konstantní, tak celkový objem, který prošel za čas $t$ [s], zjistíme jednoduše vynásobením:

V=Q\cdot t

V našem případě však průtok konstantní není, a tak musíme spočítat "plochu pod křivkou" neboli integrál.

Dříve:
- čtverečkovaný nebo milimetrový papír, počítáme čtverečky
- planimetr
Dnes: Digitálně (numericky)

Zapíšeme:

V_{vital}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}Q(t)\ \mathrm {d} t

Problém je, že takto mohu zjistit jen změnu celkového objemu plic (vitální kapacitu), ale nezjistím minimální (reziduální) a maximální objem plic, protože v plicích i při maximálním výdechu vždy nějaký objem vzduchu zůstane.

V_{celk}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}Q(t)\ \mathrm {d} t+V_{rezid}

Příklad 2: Rychlost a dráha rovnoměrně zrychleného pohybu

Dráha:

s(t)={\frac {1}{2}}a\cdot t^{2}

Rychlost je derivací dráhy:

v(t)=s'(t)={\frac {1}{2}}\cdot 2\cdot t=a\cdot t

Ale jak jsme na ten vzoreček pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu přišli? Vtip je ovšem v tom, že jsme si nejdříve zadefinovali, že rovnoměrně zrychlený pohyb je ten pohyb, který má konstatní zrychlení $a=konst$ a teprve potom jsme si mohli odvodit nějaký vzoreček pro dráhu. Tedy museli jsme naopak:

v(t)=a\cdot t

a teprve potom:

s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\ \mathrm {d} t

A teď je problém: Co když jsme v čase $t_{1}$ už někde byli, nějakou dráhu jsme urazili nějakým jiným druhem pohybu apod.? Tak tu dráhu na začátku musíme k té dráze, kterou jsme urazili tímto rovnoměrně zrychleným pohybem, ještě přičíst jako nějakou konstantu:

s_{celk}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\ \mathrm {d} t+s(t_{1})

Primitivní funkce[editovat]

Pokud znám derivaci nějaké funkce a teprve hledám tu prvotní funkci, k níž znám pouze tu její derivaci, pak tomu říkáme hledání primitivní funkce.

Ve výše uvedeném případě:

Znám derivaci primitivní funkce:

v(t)=s'(t)=a\cdot t

Hledám tu primitivní funkci:

s=\int v(t)\ \mathrm {d} t

Teď jsme si odpustili limity od $t_{1}$ do $t_{2}$ , tak tomu říkáme neurčitý integrál. Výsledkem bude nějaká funkce, ke které ovšem budeme nakonec moci přičíst nějakou konstantu $C$ , o které nevíme, jak bude velká, protože derivace konstanty je nula.