Přeskočit na obsah

Integrál

Z Wikiverzity

Integrál
přednáška v předmětu Vybrané kapitoly z matematiky
pro bakalářský studijní obor Radiologická asistence
na 2. lékařské fakultě Univerzity Karlovy
Ústav biofyziky

Přednášející: Petr Heřman / Gracian Tejral

[ Skin: minerva | vector-2022 | vector | monobook | timeless | cologneblue | modern ]

Integrál určitý a neurčitý[editovat]

Spirometrie
Turbínka spirometru
Spirometrická křivka
Amslerův planimetr

Derivace nám říká, jak se mění nějaká funkce.

V praxi ale někdy můžeme změřit jen to, jak se nějaká funkce mění, a nikoli tu funkci samotnou.

Příklad 1: Spirometrie

Spirometr nám měří průtok vzduchu přístrojem, ale my potřebujeme zjistit vitální kapacitu plic:

  • Známe průtok [L/s]
  • Chceme zjistit celkový objem vzduchu, který prošel při maximálním výdechu [L]

Kdyby byl průtok v čase konstantní, tak celkový objem, který prošel za čas [s], zjistíme jednoduše vynásobením:

V našem případě však průtok konstantní není, a tak musíme spočítat "plochu pod křivkou" neboli integrál.

  • Dříve:
    • čtverečkovaný nebo milimetrový papír, počítáme čtverečky
    • planimetr
  • Dnes: Digitálně (numericky)

Zapíšeme:

Problém je, že takto mohu zjistit jen změnu celkového objemu plic (vitální kapacitu), ale nezjistím minimální (reziduální) a maximální objem plic, protože v plicích i při maximálním výdechu vždy nějaký objem vzduchu zůstane.

Příklad 2: Rychlost a dráha rovnoměrně zrychleného pohybu

Dráha:

Rychlost je derivací dráhy:


Ale jak jsme na ten vzoreček pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu přišli? Vtip je ovšem v tom, že jsme si nejdříve zadefinovali, že rovnoměrně zrychlený pohyb je ten pohyb, který má konstatní zrychlení a teprve potom jsme si mohli odvodit nějaký vzoreček pro dráhu. Tedy museli jsme naopak:

a teprve potom:

A teď je problém: Co když jsme v čase už někde byli, nějakou dráhu jsme urazili nějakým jiným druhem pohybu apod.? Tak tu dráhu na začátku musíme k té dráze, kterou jsme urazili tímto rovnoměrně zrychleným pohybem, ještě přičíst jako nějakou konstantu:


Primitivní funkce[editovat]

Pokud znám derivaci nějaké funkce a teprve hledám tu prvotní funkci, k níž znám pouze tu její derivaci, pak tomu říkáme hledání primitivní funkce.

Ve výše uvedeném případě:

  • Znám derivaci primitivní funkce:
  • Hledám tu primitivní funkci:

Teď jsme si odpustili limity od do , tak tomu říkáme neurčitý integrál. Výsledkem bude nějaká funkce, ke které ovšem budeme nakonec moci přičíst nějakou konstantu , o které nevíme, jak bude velká, protože derivace konstanty je nula.

Vím, že když bylo:

tak:

Při derivování jsme tím exponentem vše vynásobili a pak jsme ho zmenšili o jedničku.

Z toho usoudíme, že při integrování exponent naopak musíme zvětšit o jedničku a pak s ním ještě ten výsledek vydělit.

Související stránky[editovat]

Odkazy[editovat]