Derivace

Derivace
přednáška v předmětu Vybrané kapitoly z matematiky
pro bakalářský studijní obor Radiologická asistence
na 2. lékařské fakultě Univerzity Karlovy
Ústav biofyziky

Přednášející: Petr Heřman / Gracian Tejral

[ Skin: minerva | vector-2022 | vector | monobook | timeless | cologneblue | modern ]

Pravidla pro derivování

Mocnina

$y=$	$y'=$
$x^{n}$	$nx^{n-1}$

Příklady:

$y=x^{1}=x$	$y'=1x^{0}=1$
$y=x^{2}$	$y'=2x^{1}=2x$
$y=x^{3}$	$y'=3x^{2}$
$y=x^{4}$	$y'=4x^{3}$

Konstanta a násobení konstantou

$y=$	$y'=$
$a$	$0$
$a\cdot f(x)$	$a\cdot f'(x)$

Příklady:

$y=1$	$y'=0$
$y=5$	$y'=0$
$y=999$	$y'=0$
$y=ax$	$y'=a\cdot x^{0}=a$
$y=ax^{2}$	$y'=2ax$
$y=ax^{3}$	$y'=3ax^{2}$
$y=2x$	$y'=2$
$y=2x^{2}$	$y'=2\cdot 2\cdot x=4x$
$y=-5x^{3}$	$y'=-15x^{2}$
$y={\frac {x^{3}}{2}}$	$y'={\frac {3x^{2}}{2}}$

Derivace součtu a rozdílu

Derivace součtu se rovná součtu derivací.

Derivace rozdílu se rovná rozdílu derivací.

$y=$	$y'=$
$y=f(x)+g(x)$	$y'=f'(x)+g'(x)$
$y=f(x)-g(x)$	$y'=f'(x)-g'(x)$

Příklady:

$y=3x^{2}+x$	$y'=6x+1$
$y=5x^{3}+2x^{2}+6x+8$	$y'=15x^{2}+4x+6$
$y=5x^{3}-2x^{2}+6x-8$	$y'=15x^{2}-4x+6$
$y=$	$y'=$

Záporná mocnina = zlomek, umocnění zlomkem = odmocnina

Derivujeme dle stejného pravidla, jako jsme si už ukázali u mocniny:

$y=$	$y'=$
$x^{n}$	$nx^{n-1}$

Příklady:

$y={\frac {1}{x}}=x^{-1}$	$y'=-1\cdot x^{-2}={\frac {-1}{x^{2}}}$
$y={\frac {1}{x^{2}}}=x^{-2}$	$y'=-2\cdot x^{-3}={\frac {-2}{x^{3}}}$
$y={\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$	$y'={\frac {1}{2}}\cdot x^{\frac {-1}{2}}$
$y={\frac {1}{\sqrt {x}}}=x^{-{\frac {1}{2}}}$	$y'=-{\frac {1}{2}}\cdot x^{\frac {-3}{2}}$
$y=$	$y'=$

Derivace složené funkce

Derivujeme nejdříve vnější funkci f(x) a výsledek pak ještě násobíme derivací vnitřní funkce g(x).

$y=$	$y'=$
$f(g(x))$	$f'(g(x))\cdot g'(x)$

Příklady:

$y=(x^{3}-2)^{5}$	$y'=5(x^{3}-2)^{4}\cdot 3x^{2}=15x^{2}(x^{3}-2)^{4}$
$y={\sqrt {x^{2}+1}}=(x^{2}+1)^{\frac {1}{2}}$	$y'={\frac {1}{2}}\cdot (x^{2}+1)^{\frac {-1}{2}}\cdot 2x={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$
$y=$	$y'=$

Exponenciální funkce

$y=$	$y'=$
$e^{x}$	$e^{x}$

Příklady:

$y=5e^{x}$	$y'=5e^{x}$
$y=e^{2x}$	$y'=2e^{2x}$
$y=e^{\frac {x}{2}}$	$y'=e^{\frac {x}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {e^{\frac {x}{2}}}{2}}$

Logaritmus

$y=$	$y'=$
$\ln(x)$	${\frac {1}{x}}$
$\log _{z}(x)$	${\frac {1}{ln(z)\cdot x}}$

Příklady:

$y=5\ \ln(x)$	$y'={\frac {5}{x}}$
$y=8\ \log _{10}(x)$	$y'={\frac {8}{\ln(10)\ x}}$
$y=\ln(3x)$	$y'=={\frac {1}{3x}}\cdot 3={\frac {3}{3x}}$

Goniometrické funkce

$y=$	$y'=$
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$

Příklady:

$y=2\sin(x)-\cos(x)$	$y'=2\cos(x)+\sin(x)$
$y=\sin(2x)$	$y'=\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x)$
$y=\cos(x^{2})$	$y'=-\sin(x^{2})\cdot 2x=-2x\sin(x^{2})$
$y=$	$y'=$

Součin a podíl funkcí

$y=$	$y'=$
$f(x)\cdot g(x)$	$f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
${\frac {f(x)}{g(x)}}$	${\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}}$

Příklady:

$y=$	$y'=$
$y=$	$y'=$

Související stránky

• Integrál
• Diferenciální rovnice
• Fyzikální systém a jeho modelování na příkladech z mechaniky

Odkazy

• w: Derivace
• Khan Academy: Diferenciální počet
• aristoteles.cz: Matematika
• Příklady EU: Derivace
  • Derivace funkce
  • Derivace složené funkce
• TRIAL, Diferenciální počet – Katedra matematiky, Západočeská univerzita
• Wolfram MathWorld: Derivative (anglicky)