Derivace

Derivace
přednáška v předmětu Vybrané kapitoly z matematiky
pro bakalářský studijní obor Radiologická asistence
na 2. lékařské fakultě Univerzity Karlovy
Ústav biofyziky

Přednášející: Petr Heřman / Gracian Tejral

[ Skin: minerva | vector-2022 | vector | monobook | timeless | cologneblue | modern ]

Pravidla pro derivování

Mocnina

$y=$	$y^{\prime }=$
$x^n$	$n{x}^{n-1}$

Příklady:

$y=x^1=x$	$y^{\prime }=1x^0=1$
$y=x^2$	$y^{\prime }=2x^1=2x$
$y=x^3$	$y^{\prime }=3x^2$
$y=x^4$	$y^{\prime }=4x^3$

Konstanta a násobení konstantou

$y=$	$y^{\prime }=$
$a$	$0$
$a\cdot f(x)$	$a\cdot f^{\prime }(x)$

Příklady:

$y=1$	$y^{\prime }=0$
$y=5$	$y^{\prime }=0$
$y=999$	$y^{\prime }=0$
$y=ax$	$y^{\prime }=a\cdot x^0=a$
$y=a{x}^2$	$y^{\prime }=2ax$
$y=a{x}^3$	$y^{\prime }=3a{x}^2$
$y=2x$	$y^{\prime }=2$
$y=2x^2$	$y^{\prime }=2\cdot 2\cdot x=4x$
$y=-5x^3$	$y^{\prime }=-15x^2$
$y=\frac{x^3}{2}$	$y^{\prime }=\frac{3x^2}{2}$

Derivace součtu a rozdílu

Derivace součtu se rovná součtu derivací.

Derivace rozdílu se rovná rozdílu derivací.

$y=$	$y^{\prime }=$
$y=f(x)+g(x)$	$y^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$
$y=f(x)-g(x)$	$y^{\prime }=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$

Příklady:

$y=3x^2+x$	$y^{\prime }=6x+1$
$y=5x^3+2x^2+6x+8$	$y^{\prime }=15x^2+4x+6$
$y=5x^3-2x^2+6x-8$	$y^{\prime }=15x^2-4x+6$
$y=$	$y^{\prime }=$

Záporná mocnina = zlomek, umocnění zlomkem = odmocnina

Derivujeme dle stejného pravidla, jako jsme si už ukázali u mocniny:

$y=$	$y^{\prime }=$
$x^n$	$n{x}^{n-1}$

Příklady:

$y=\frac{1}{x}=x^{-1}$	$y^{\prime }=-1\cdot x^{-2}=\frac{-1}{x^2}$
$y=\frac{1}{x^2}=x^{-2}$	$y^{\prime }=-2\cdot x^{-3}=\frac{-2}{x^3}$
$y=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$	$y^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{-1}{2}}$
$y=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$	$y^{\prime }=-\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{-3}{2}}$
$y=$	$y^{\prime }=$

Derivace složené funkce

Derivujeme nejdříve vnější funkci f(x) a výsledek pak ještě násobíme derivací vnitřní funkce g(x).

$y=$	$y^{\prime }=$
$f(g(x))$	$f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

Příklady:

$y=(x^3-2{)}^5$	$y^{\prime }=5(x^3-2{)}^4\cdot 3x^2=15x^2(x^3-2{)}^4$
$y=\sqrt{x^2+1}=(x^2+1{)}^{\frac{1}{2}}$	$y^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot (x^2+1{)}^{\frac{-1}{2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
$y=$	$y^{\prime }=$

Exponenciální funkce

$y=$	$y^{\prime }=$
$e^x$	$e^x$

Příklady:

$y=5e^x$	$y^{\prime }=5e^x$
$y=e^{2x}$	$y^{\prime }=2e^{2x}$
$y=e^{\frac{x}{2}}$	$y^{\prime }=e^{\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Logaritmus

$y=$	$y^{\prime }=$
$\ln (x)$	$\frac{1}{x}$
${\log }_z(x)$	$\frac{1}{ln(z)\cdot x}$

Příklady:

$y=5\ln (x)$	$y^{\prime }=\frac{5}{x}$
$y=8{\log }_{10}(x)$	$y^{\prime }=\frac{8}{\ln (10)x}$
$y=\ln (3x)$	$y^{\prime }==\frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{3}{3x}$

Goniometrické funkce

$y=$	$y^{\prime }=$
$\sin (x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$-\sin (x)$

Příklady:

$y=2\sin (x)-\cos (x)$	$y^{\prime }=2\cos (x)+\sin (x)$
$y=\sin (2x)$	$y^{\prime }=\cos (2x)\cdot 2=2\cos (2x)$
$y=\cos (x^2)$	$y^{\prime }=-\sin (x^2)\cdot 2x=-2x\sin (x^2)$
$y=$	$y^{\prime }=$

Součin a podíl funkcí

$y=$	$y^{\prime }=$
$f(x)\cdot g(x)$	$f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$
$\frac{f(x)}{g(x)}$	$\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$

Příklady:

$y=$	$y^{\prime }=$
$y=$	$y^{\prime }=$

Související stránky

• Integrál
• Diferenciální rovnice
• Fyzikální systém a jeho modelování na příkladech z mechaniky

Odkazy

• w: Derivace
• Khan Academy: Diferenciální počet
• aristoteles.cz: Matematika
• Příklady EU: Derivace
  • Derivace funkce
  • Derivace složené funkce
• TRIAL, Diferenciální počet – Katedra matematiky, Západočeská univerzita
• Wolfram MathWorld: Derivative (anglicky)