Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 512
Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (jsou známy z počátku tohoto 21. stojetí); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.
Drobečky teorie
[editovat]- V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 512: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
- Repunity o délce 512: 1[512](z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. Ne v každé soustavě je z256 + 1 prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě.
- Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
- Pokud číslo z256 + 1 je složené, mají v sudých soustavách faktory délku p.h. l = 512, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
- V lichých soustavách je pochopitelně vždy jedním z faktorů číslo 2. To však v dané soustavě má vždy l = 1 (ne 512). Podíl je (z256 + 1)/2 je vždy ve tvaru (z/2-1/2)(opakováno 255krát):z/2+1/2, tedy v trojkové soustavě 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112(3) (1 = 3(10)/2 - 1/2) (2 = 3(10)/2 + 1/2; 1 = 10(3)/2 - 1/2) (2 = 10(3)/2 + 1/2), v jedenáctkové soustavě 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556(11) atd... Obecná značka: aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaab, kde b=a+1.
- Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
- Prvočísla o délce p.h. l = 512 vždy vyhovují vzorci 512n + 1.
Příklad prvočísla o délce p.h. l = 512
[editovat]Ve stodvaapadesátkové soustavě (v soustavě o základu 152) má číslo 3564170849284451526846990101525475394514151587988706068973128787710079509071203079851602134301951017075926165869851757168049244301391371101666513444895165455838064467986735269127019092451868410842275736107073033575548228944570334018883467127681460999425174429561912879292286342021689579919873755879746084038414493533434974029578151792075329957028741182957345272606199489721531308501216517979022962557671019375124058200601808932452744780953546352194634609979627719083189069656799295304163252283430670512252148657673898489212426433945718238195983438703426011137=81409x43781042013591267880049995719459462645581589111630238290276612999914991082941727325622500390644167316585711234259747167611065659833573328522233579148437709047378845925963164627093062099422280225064498226327224675104082213816289771633154407100952732491802803493003388805811229004430586052154844745418148902927372815455723249635521278876725300114591030266399848574558089274177686846678088638590609914845668407364346180405137133885107847792670912948133923890228693622120270113338811375943240333174841485735633021627509224891749394218645582652974283417108993(10) (o 554 cifrách) = 001:(000:)[255]001(152) (o 257 cifrách) délku periody převrácené hodnoty l = 512. Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho* (tato nekonečnost má ovšem velmi řídkou "hustotu"; všechna taková prvočísla jsou značně veliká a proto značná část z nich je nedostupná pro objevení a konfirmaci současnými technickými možnostmi), stejně jako ostatních unikátních prvočísel. *Ve vztahu k dvojkové soustavě, Pierre de Fermat vytvořil teorii (viz Fermat number - Fermatova čísla), že 2^(2^n) + 1 je prvočíslo. To ovšem platí pouze pro n = 0 (3), 1 (5), 2 (17), 3 (257) a 4 (65537); pro další známá Fermatova čísla to neplatí (n = 5 až 11 - jsou známy všechny faktory, pro n = 12 až 32 je známo, že nejsou prvočísly, ačkoliv nejsou známy všechny faktory; pro n = 20 a n = 24 nejsou známy žádné faktory). Podobný jev pro další číselné soustavy se nazývá generalizované Fermatovo číslo.