Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 256
Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.
Drobečky teorie
[editovat]- V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 256: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
- Repunity o délce 256: 1[256](z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. Ne v každé soustavě je z128 + 1 prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě.
- Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
- Pokud číslo z128 + 1 je složené, mají v sudých soustavách faktory délku p.h. l = 256, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
- V lichých soustavách je pochopitelně vždy jedním z faktorů číslo 2. To však v dané soustavě má vždy l = 1 (ne 256). Podíl je (z128 + 1)/2 je vždy ve tvaru (z/2-1/2)(opakováno 127krát):z/2+1/2, tedy v trojkové soustavě 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112(3) (1 = 3(10)/2 - 1/2) (2 = 3(10)/2 + 1/2; 1 = 10(3)/2 - 1/2) (2 = 10(3)/2 + 1/2), v jedenáctkové soustavě 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556(11) atd... Obecná značka: aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaab, kde b=a+1.
- Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
- Prvočísla o délce p.h. l = 256 vždy vyhovují vzorci 256n + 1.
Příklad prvočísla o délce p.h. l = 256
[editovat]Ve stotřináctkové soustavě (v soustavě o základu 113) má číslo 31117935065544443624360630321806866135404771057463766973345930211529382742362473444760518365383986257038156742075337936843270451153558198893950966577060788941794932715281310019613666695103036348690953197159344482082259748912559131612304654648921695046640421698561(10) (o 263 cifrách) = (056:)[127]057(113) (o 128 cifrách) délku periody převrácené hodnoty l = 256. Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho* (tato nekonečnost má ovšem velmi řídkou "hustotu"; všechna taková prvočísla jsou značně veliká a proto značná část z nich je nedostupná pro objevení a konfirmaci současnými technickými možnostmi), stejně jako ostatních unikátních prvočísel. *Ve vztahu k dvojkové soustavě, Pierre de Fermat vytvořil teorii (viz Fermat number - Fermatova čísla), že 2^(2^n) + 1 je prvočíslo. To ovšem platí pouze pro n = 0 (3), 1 (5), 2 (17), 3 (257) a 4 (65537); pro další známá Fermatova čísla to neplatí (n = 5 až 11 - jsou známy všechny faktory, pro n = 12 až 32 je známo, že nejsou prvočísly, ačkoliv nejsou známy všechny faktory; pro n = 20 a n = 24 nejsou známy žádné faktory). Podobný jev pro další číselné soustavy se nazývá generalizované Fermatovo číslo.