Matematika/Výpočet obsahu rovinných útvarů/Zajímavé úlohy

Z Wikiverzity
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Pravidelný n-úhelník[editovat]

Vypočtěte obsah pravidelného n-úhelníka, znáte-li délku strany a a hodnotu n.

Řešení[editovat]

Pravidelný n-úhelník rozdělíme na n shodných rovnoramenných trojúhelníků o straně a a vnitřních úhlech při této straně .

Pro výšku tohoto trojúhelníku dostáváme .

Pro platí , tedy .

Obsah jednoho rovnoramenného trojúhelníku je tedy .

Obsah pravidelného n-úhelníka je .

Zkouška správnosti výsledku pro některé hodnoty n[editovat]

Pro dostáváme , což je skutečně obsah rovnostranného trojúhelníka o straně a.

Pro dostáváme , což je skutečně obsah čtverce o straně a.

Pro dostáváme , což je skutečně šestinásobek obsahu rovnostranného trojúhelníka o straně a a též trojnásobek obsahu kosočtverce o straně a a vnitřním úhlu .

n-cípá hvězda[editovat]

Vypočtěte obsah n-cípé hvězdy (n > 4), znáte-li poloměr kružnice opsané r a hodnotu n. Za n-cípou hvězdu v této úloze považujeme mnohoúhelník s 2n vrcholy s těmito vlastnostmi:

  • vrcholy leží střídavě na opsané kružnici (vrcholy cípů) a na vnitřní kružnici,
  • je osově souměrný podle n os procházejících středem opsané kružnice (pro liché n procházejí vrcholy cípů, pro sudé n polovina z nich prochází vrcholy cípů, polovina vrcholy na vnitřní kružnici),
  • ramena cípů směřují k jiným vnějším vrcholům.

Pro n = 5 splňuje toto upřesněné zadání jediný tvar hvězdy, pro n > 5 více tvarů hvězdy lišících se počtem „přeskočených“ vrcholů při konstrukci ramen cípů.

Řešení 1[editovat]

Obr. 1
Obr. 2

Toto řešení bylo odvozeno z pěticípé hvězdy, mělo by platit i pro další liché hodnoty n, přičemž pro n > 5 jen pro ty tvary hvězdy, u kterých ramena cípů směřují vždy ke dvěma nejvzdálenějším, vůči sobě sousedním vnějším vrcholům (na obr. 1 jsou to ramena cípů směřující z vrcholu A k vrcholům C a D). Neboli z možných více tvarů hvězdy dle zadání je uvažován ten s nejmenším vnitřním úhlem při vnějších vrcholech.

Obrazec rozdělíme na 2n stejných (přesněji: n stejných a n k nim osově souměrných) trojúhelníků, viz obr. 1.

V trojúhelníku ASB (viz obr. 2) známe délku r nejdelší strany AS (je rovna zadanému poloměru kružnice). Velikost úhlu při vrcholu S je rovna (kružnice je rozdělena na 2n stejných úhlů), velikost úhlu při vrcholu A je rovna polovině velikosti úhlu při vrcholu S, tedy (úhel CAD na obr. 1 je obvodovým úhlem ke středovému úhlu CSD). Velikost úhlu při vrcholu B dopočítáme jako .

Pomocí sinové věty spočítáme délku strany AB:

,

a dále spočítáme výšku z vrcholu B:

.

Nyní již umíme vypočítat obsah jednoho trojúhelníka jako

a celého obrazce