Matematika/Výpočet obsahu rovinných útvarů/Základní rovinné útvary

Z Wikiverzity
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Trojúhelníky[editovat]

Obecný trojúhelník[editovat]

, kde a je délka některé ze stran, va je výška z protilehlého vrcholu na tuto stranu. Lze odvodit jako polovinu obsahu kosodélníka (viz níže) se stejnou stranou a výškou.

V učivu základní školy se používá spíše označení z pro základnu (kteroukoli vybranou stranu) a v pro příslušnou výšku, tedy:

.

Pravoúhlý trojúhelník[editovat]

Odvěsny jsou k sobě navzájem výškami (neboli , ), tedy:

, kde a, b jsou délky odvěsen. Lze odvodit jako polovinu obsahu obdélníka se stejnými délkami stran.

Rovnostranný trojúhelník[editovat]

Z délky strany lze podle Pythagorovy věty () nebo pomocí goniometrických funkcí (, kde ) spočítat i výšku (). Tedy:

.

Rovnoramenný trojúhelník[editovat]

Máme dánu délku základny a a velikost úhlu mezi ramenem a základnou α. Výšku tohoto trojúhelníku spočítáme pomocí goniometrických funkcí jako . Tedy:

.

Zvláštním případem rovnoramenného trojúhelníku pro je rovnostranný trojúhelník, přitom , po dosazení a úpravě skutečně dostáváme vzorec v předchozí sekci.

Pokud použijeme , máme pravoúhlý trojúhelník o přeponě a, přitom , po dosazení dostáváme a opravdu – tento trojúhelník je čtvrtinou čtverce o straně a, rozřezaného podél obou úhlopříček.

Čtyřúhelníky[editovat]

Obdélník a čtverec[editovat]

, kde a, b jsou délky stran

Pro čtverec platí , a tedy .

Kosodélník a kosočtverec[editovat]

Kosodélník a kosočtverec (obecně rovnoběžník ležící na delší ze stran, kde a je tato delší strana a va příslušná výška) lze svisle rozříznout na pravoúhlý trojúhelník a pravoúhlý lichoběžník, jejichž složením vznikne obdélník o stranách a, va, tedy

.

Pokud známe velikost vnitřního úhlu kosočtverce, umíme pomocí goniometrických funkcí spočítat výšku (), tedy

.

Pro kosočtverec s vnitřními úhly a máme a dostáváme tedy , což je dvojnásobek plochy rovnostranného trojúhelníku, který vznikne rozpůlením kosočtverce po kratší úhlopříčce.

Lichoběžník[editovat]

Lichoběžník, jehož dvě rovnoběžné strany (základny) mají délky a1 a a2, můžeme po diagonále rozdělit na dva trojúhelníky o stranách (základnách) a1 a a2 a stejné výšce va. Obsah lichoběžníka je roven součtu jejich obsahů:

.

Kruh[editovat]

nebo , kde r je poloměr a d je průměr kruhu ().