ZSV pro kombinované lyceum/Výroková logika
 Tato stránka je součástí projektu:
| |
| střední škola | |
| Příslušnost: skupinová | |
Výrok a logické operace s výroky[editovat]
Pojmy:
- Výrok – oznamovací věta, o které dokážeme rozhodnout, zda je pravdivá
- Pravdivostní hodnota (ph) označuje, zda je výrok (v) pravdivý, značíme 1-pravdivý, 0-nepravdivý
- Pravdivostní logika – rozhodujeme o pravdivosti výroků na základě našeho poznání
- Atomární výrok - je tvořen jednoduchou větou
- Složený výrok - je tvořen atomárními výroky a logickou spojkou
- Hypotéza – tvrzení, které není ověřitelné
- Axiom – výrok, o jehož pravdivosti se nepochybuje (např. v teologii: Bůh existuje)
- Tautologie – složený výrok, který je za každých okolností pravdivý
- Kontradikce – složený výrok, který je za každých okolností nepravdivý (tedy je negací tautologie)
Operace s výroky[editovat]
Negace – přiřazuje opačnou pravdivostní hodnotu – [non vé]
Konjunkce spojuje pomocí spojky {a}
Lze ji též popsat takto jako (ㄱ(A ⇒ ㄱB) – negace implikace A, non B
Disjunkce spojuje pomocí spojky {nebo}
Lze ji též popsat takto – (ㄱA⇒ B) implikace non A, B
Ostrá disjunkce spojuje pomocí spojky {,nebo} - tedy buď jedno, nebo druhé (narozdíl od obyčejné disjunkce nemohou platit obě možnosti zároveň.
Implikace spojuje výroky pomocí spojky {jestliže, potom / vyplývá} atp.
Ekvivalence je oboustranná implikace (logické rovná se)
Lze ji také popsat takto: (A ⇒ B) ⋀ (B ⇒ A) implikace A, B a implikace B, A
Negace složených výroků[editovat]
Příklady:
- Negace konjunkce: ㄱ(A ⋀ B) = ㄱA ⋁ㄱB
V: Přijde Radovan Daniel a Barbora; ㄱV: Nepřijde Radovan Daniel nebo nepřijde Barbora
- Negace disjunkce: ㄱ(A ⋁ B) = ㄱA ⋀ㄱB
V: Mám rád matematiku nebo Radovana Daniela; ㄱV: Nemám rád matematiku a nemám rád Radovana Daniela
- Negace implikace: ㄱ(A ⇒ B) = A ⋀ㄱB
V: Když přijde Radovan Daniel, tak bude matematika; ㄱV: Přijde Radovan Daniel a nebude matematika
- Negace ekvivalence: ㄱ(A ⇔ B) = (A ⋀ㄱB) ⋁ (ㄱA ⋀ B)
V: Matematika bude, právě tehdy když přijde Radovan Daniel; ㄱV: Matematika bude a nepřijde Radovan Daniel nebo matematika nebude a přijde Radovan Daniel
Kvantifikované výroky[editovat]
Kvantifikované výroky jsou výroky, ke kterým můžeme přiřadit vlastnost “jak mnoho”
obecný: pro každý objekt platí, že…
existenční: existuje objekt, pro který platí, že...
Množstevní výroky[editovat]
V: alespoň n nebo n+1, n+2,
ㄱV: nejvýše n-1
(Mám v košíku alespoň sedm jablek)
ㄱ(Mám v košíku nejvýše 6 jablek)
V: nejvýše n
ㄱV: alespoň n+1
V: právě n
ㄱV: nejvýše n-1 nebo alespoň n+1
(Mám v košíku právě 5 jablek)
ㄱ(Mám v košíku nejvýše 4 nebo alespoň 6)
Příklad[editovat]
Např.: Víme, že je pravdivá implikace: jestliže je Jana nemocná, potom nepřijde do školy. Dnes Jana nepřišla do školy. Rozhodněte, zda je pravdivý výrok: Jana je nemocná.
Řešení:
Nejdříve je potřeba přeložit úloha do logických výroků, tzn.:
Jana je nemocná = A
Jana nejde do školy = B
Jestliže je Jana nemocná, nejde do školy = A ⇒ B
Dnes Jana nepřišla do školy. Jana je tedy nemocná.
Tzn.: B ⇒ A
Vidíme, že Jana nemusí být nemocná, aby školu nenavštívila, řešením tedy zní: Výrok není pravda