ZSV pro kombinované lyceum/Výroková logika

Tato stránka není ještě hotová.

Tato stránka je součástí projektu:
ZSV pro kombinované lyceum
střední škola
Příslušnost: skupinová

Výrok a logické operace s výroky

Pojmy:

Výrok – oznamovací věta, o které dokážeme rozhodnout, zda je pravdivá
Pravdivostní hodnota (ph) označuje, zda je výrok (v) pravdivý, značíme 1-pravdivý, 0-nepravdivý
Pravdivostní logika – rozhodujeme o pravdivosti výroků na základě našeho poznání
Atomární výrok - je tvořen jednoduchou větou
Složený výrok - je tvořen atomárními výroky a logickou spojkou
Hypotéza – tvrzení, které není ověřitelné
Axiom – výrok, o jehož pravdivosti se nepochybuje (např. v teologii: Bůh existuje)
Tautologie – složený výrok, který je za každých okolností pravdivý
Kontradikce – složený výrok, který je za každých okolností nepravdivý (tedy je negací tautologie)

Operace s výroky

Negace – přiřazuje opačnou pravdivostní hodnotu – [non vé] 

Konjunkce spojuje pomocí spojky {a}
Lze ji též popsat takto jako (ㄱ(A ⇒ ㄱB) – negace implikace A, non B

Disjunkce spojuje pomocí spojky {nebo}
Lze ji též popsat takto – (ㄱA⇒ B) implikace non A, B

Ostrá disjunkce spojuje pomocí spojky {,nebo} - tedy buď jedno, nebo druhé (narozdíl od obyčejné disjunkce nemohou platit obě možnosti zároveň.

Implikace spojuje výroky pomocí spojky {jestliže, potom / vyplývá} atp.

Ekvivalence je oboustranná implikace (logické rovná se)
Lze ji také popsat takto: (A ⇒ B) ⋀ (B ⇒ A) implikace A, B a implikace B, A

Negace složených výroků

Příklady:

Negace konjunkce: ㄱ(A ⋀ B) = ㄱA ⋁ㄱB

V: Přijde Radovan Daniel a Barbora; ㄱV: Nepřijde Radovan Daniel nebo nepřijde Barbora

Negace disjunkce: ㄱ(A ⋁ B) = ㄱA ⋀ㄱB

V: Mám rád matematiku nebo Radovana Daniela; ㄱV: Nemám rád matematiku a nemám rád Radovana Daniela

Negace implikace: ㄱ(A ⇒ B) = A ⋀ㄱB

V: Když přijde Radovan Daniel, tak bude matematika; ㄱV: Přijde Radovan Daniel a nebude matematika

Negace ekvivalence: ㄱ(A ⇔ B) = (A ⋀ㄱB) ⋁ (ㄱA ⋀ B)

V: Matematika bude, právě tehdy když přijde Radovan Daniel; ㄱV: Matematika bude a nepřijde Radovan Daniel nebo matematika nebude a přijde Radovan Daniel

Kvantifikované výroky

Kvantifikované výroky jsou výroky, ke kterým můžeme přiřadit vlastnost “jak mnoho”

obecný: pro každý objekt platí, že… existenční: existuje objekt, pro který platí, že...

Množstevní výroky

V: alespoň n nebo n+1, n+2, ㄱV: nejvýše n-1
(Mám v košíku alespoň sedm jablek)
ㄱ(Mám v košíku nejvýše 6 jablek)

V: nejvýše n
ㄱV: alespoň n+1

V: právě n
ㄱV: nejvýše n-1 nebo alespoň n+1
(Mám v košíku právě 5 jablek) ㄱ(Mám v košíku nejvýše 4 nebo alespoň 6)

Příklad

Např.: Víme, že je pravdivá implikace: jestliže je Jana nemocná, potom nepřijde do školy. Dnes Jana nepřišla do školy. Rozhodněte, zda je pravdivý výrok: Jana je nemocná.

Řešení:
Nejdříve je potřeba přeložit úloha do logických výroků, tzn.:
Jana je nemocná = A
Jana nejde do školy = B
Jestliže je Jana nemocná, nejde do školy = A ⇒ B
Dnes Jana nepřišla do školy. Jana je tedy nemocná.
Tzn.: B ⇒ A

Vidíme, že Jana nemusí být nemocná, aby školu nenavštívila, řešením tedy zní: Výrok není pravda