Výzkum struktury čísel a vzorců/Ciferný rozklad čísla (10 soustava)

Tato stránka je součástí projektu:

Výzkum struktury

Příslušnost: všeobecná

Stránka zkoumá způsob zápisu ciferného rozkladu čísla a některé vlastnosti ciferného rozkladu čísla v desítkové soustavě.

Definice ciferného rozkladu čísla

• Každé číslo v desítkové soustavě lze rozložit na jednotlivé cifry (ciferné objekty).
• Každý ciferný objekt v desítkové soustavě může nabývat hodnot od 0 do 9 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
• Každou hodnotu objektu ciferného rozkladu lze nahradit symbolem (proměnnou nebo vzorcem)
• Každý objekt lze označit horním indexem udávající řád cifry.
• Každý index cifry lze nahradit symbolem (proměnnou nebo vzorcem)

Zápisy ciferného rozkladu čísel

Zápisy ciferného rozkladu čísla 159:

• zjednodušená forma: $[1][5][9]$
• plná forma: $[1]^{3}[5]^{2}[9]^{1}$

Zápisy ciferného rozkladu čísla 159,37:

• zjednodušená forma: $[1][5][9],[3][7]$
• plná forma: $[1]^{3}[5]^{2}[9]^{1},[3]^{-1}[7]^{-2}$

Zápisy ciferného rozkladu čísel vyjádřených proměnnými:

• zjednodušená forma: $[c][b][a]$
• plná forma: $[c]^{x+2}[b]^{x+1}[a]^{x}$

• zjednodušená forma: $[c][b][a],[d][e]$
• plná forma: $[c]^{x+2}[b]^{x+1}[a]^{x},[d]^{-x}[e]^{-x-1}$

Příklad užití

Vytvoř čísla podle předlohy $[a+5][a+2][a]$ pro $a\in (0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10)$

$[a+5][a+2][a]$

a=	číslo v ciferném rozkladu	číslo
0	$[0+5][0+2][0]$	520
1	$[1+5][1+2][1]$	631
2	$[2+5][2+2][2]$	742
3	$[3+5][3+2][3]$	853
4	$[4+5][4+2][4]$	964
5	$[5+5][5+2][5]=[10][7][5]=[1][0][7][5]$	1075
6	$[6+5][6+2][6]=[11][8][6]=[1][1][8][6]$	1186
7	$[7+5][7+2][7]=[12][9][7]=[1][2][9][7]$	1297
8	$[8+5][8+2][8]=[13][10][8]=[1(3]+[1)0][8]=[1][3+1][0][8]$	1408
9	$[9+5][9+2][9]=[14][11][9]=[1][4+1][1][9]$	1519
10	$[10+5][10+2][10]=[15][12][10]=[15+1][2+1][0]=[16][3][0][$	1630

Pokud vezmeme takto vygenerované číslo dle parametru $a$ a odečteme od něj číslo vygenerované dle $a-1$, tak výsledkem bude vždy číslo ve tvaru $111$.

$631-520=111$

$742-631=111$

$853-742=111$

$964-853=111$

$1075-964=111$

$1186-1075=111$

$1297-1186=111$

$1408-1297=111$

$1519-1408=111$

$1630-1519=111$

Výraz typu 1+11+111+...

1+11=12

1+11+111=123

1+11+111+1111=1234

1+11+111+1111+11111=12345

1+11+111+1111+11111+111111=123456

1+11+111+1111+11111+111111+1111111=1234567

1+11+111+1111+11111+111111+1111111+11111111=12345678

1+11+111+1111+11111+111111+1111111+11111111+111111111=123456789

$[a]+[a][a]+[a][a][a]=[a][a+a][a+a+a]=[a][2\cdot a][3\cdot a]$

Výraz typu 321-123

Odčítání většího čísla od menšího, jehož cifry jsou tvořeny z aritmetické posloupnosti o diferenci 1. Čísla jsou vůči sobě zrcadlovým obrazem. Základní rozdíly těchto cifer jsou ve tvaru $[2][0][-2]$

321-123=198
432-234=198
543-345=198
654-456=198
765-567=198
876-678=198
987-789=198

Existuje důvod proč odčítání čísel sestavených podle tohoto pravidla mají vždy stejný výsledek. Důvod je v symetrii cifer těchto čísel, které jsou vůči sobě zrcadlovým obrazem.

Obecný vzorec pro sestavení takovéto dvojce čísel je: $[a+2][a+1][a]-[a][a+1][a+2]=189$

$[a+2][a+1][a]$
$-[a][a+1][a+2]$
_____________________________________
$[(a+2)-(a)=2][(a+1)-(a+1)=0][(a)-(a+2)=-2]$
$[2][0][-2]$ základní rozdíl cifer
$[2-1=1][10-1=9][10-2=8]$ započítání posunů v řádech
$[1][9][8]$ proto je výsledek vždy stejný pro jakoukoliv velikost proměny a