Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Rovnováha symetrií
Stavy a vztahy
[editovat]Vzájemně jednoznačným přiřazením logických stavů(logických funkcí) k navzájem různým stavům(nezávisle proměnných) vznikají logické vztahy-funkce.
Vztahy vztahů
[editovat]Současně se vznikem logických vztahů-funkcí-vznikají vztahy mezi logickými vztahy-funkcemi.Tyto vztahy vztahů podléhají jednak symetrii vnitřní a jednak symetrii vnější.Algebry,hlavně algebra Booleova hledají rovnováhu mezi těmito symetriemi.
Logická funkce je jednoznačné přiřazení 0 a 1 ke stavům nezávisle proměnných.Logická funkce je tedy vlastně stav stavů nezávisle proměnných.Přiřazením stavů ke stavům vznikají vztahy.
Každou logickou funkci lze určitou výrokotvornou spojkou-funktorem vyjádřit pomocí stavů nezávisle proměnných.Problém je ale v tom,že s růstem počtu nezávisle proměnných velmi rychle stoupá počet jejich logických funkcí.Pro n nezávisle proměnných je 2 na 2 na n jejich logických funkcí,čili jejich stavu stavů.
Vztahy mezi vztahy
[editovat]Východisko je ale v tom,že ze vztahů vznikají vztahy mezi vztah,čili logickými funkcemi.Ze vztahů mezi logickými funkcemi a nezávisle proměnnými vznikají vztahy mezi samotnými logickými funkcemi.
To umožňuje,abychom určitým souborem logických funkcí pomocí logických výrazů vyjádřili všechny logické funkce.Dokonce existují funkce,že jedinou logickou funkcí lze pomocí logických výrazů vyjádřit všechny logické funkce.
Soubory funkcí
[editovat]Souboru funkcí,kterým lze vyjádřit všechny ostatní logické funkce říkáme úplný soubor funkcí.K úplnému souboru funkcí lze přiřadit jakoukoliv další logickou funkci a bude opět úplným souborem funkcí.Neplatí to ale naopak.Úplnému souboru funkcí,ze kterého již nelze žádnou funkci ubrat říkáme minimální úplný soubor funkcí.Jsou funkce,které dvě tvoří úplný minimální soubor funkcí.Jsou funkce které tři tvoří úplný minimální soubor funkcí. Jsou ale funkce,které samotné tvoří úplný minimální soubor.U funkcí jedné a dvou nezávisle proměnných,ze kterých nejčastěji vybíráme minimální úplné soubory jsou to funkce Schefferová a Peirceova.
Logické výrazy,kterými pomocí úplného souboru funkcí vyjadřujeme všechny ostatní funkce mají dva druhy symetrií,vnitřní a vnější.
Nejvyšší vnitřní symetrie
[editovat]Nejvyšší vnitřní symetrii mají logické výrazy,kterými pomocí jedné funkce vyjadřujeme všechny ostatní funkce.
Čím více má úplný soubor funkcí,tím menší je vnitřní symetrie výrazů,kterými vyjadřuje ostatní funkce a naopak získávají jeho výrazy symetrii vnější danou samotnými funkcemi souboru v tom výrazu.A tím jsou také logické výrazy používané tímto souborem jednoduší a lépe se s nimi pracuje.Algebra a hlavně Booleova algebra se snaží zjednodušovat své výrazy tím,že nepoužívají minimální úplný soubor funkcí.Nejpřirozenější pro použití jsou funkce logický součin a logický součet.Jak logický součin a negace,tak logický součet a negace tvoří minimální úplné soubory funkcí.Z důvodu vyváženosti obou symetrií a zjednodušení logických výrazů Booleova algebra využívá úplný soubor funkcí skládající se z logického součinu,součtu a negace.