Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Porovnání
Booleova algebra
[editovat]Booleova algebra je každá množina prvků B,která obsahuje jednak dva význačné prvky 0 a 1 a jednak další prvky x,y,z..,v níž jsou definovány operace ,disjunkce, součtu(x plus y),konjunkce,součinu(x.y) a operace negace non x tak,že platí následující soubor axiomů-tvrzení:
1 Jestliže x,y jsou libovolné dva prvky množiny B,tak prvky (x.y),( x plus y ) jsou také prvky množiny B (zákony vnitřní kompozice)
2 Pro libovolný prvek x množiny B platí:( x plus 0) = x,(X.1) = x (pravidlo vyloučení třetího)
3 Pro libovolné dva prvky x, y množiny B platí ( x plus y ) = ( y plus x) a ( x.y = (y.x ) (komutativní zákony )
4 Pro libovolné tři prvky x,y,z množiny B platí x plus ( y.z) = ( x plus y ).(x plus z )
5 Pro libovolné tři prvky x,y,z množiny B platí x.(y plus z) = (x.y) plus (x.z) (distributivní zákony)
6 Ke každému prvku x množiny B existuje prvek non x tak,že platí x plus non x = 1 a x.nonx = 0
7 Existují alespoň dva prvky x,y patřící do množiny B,že x se nerovná y
Tento soubor axiomů vypracoval Američan Hustingson.Je to pouze jeden z mnoha možných souboru axiomů Booleovy algebry.
Pomocí tohoto souboru axiomů dokažme rovnici (x plus 1) = 1
( x plus 1) =( x plus 1) .1 2
( x plus 1 ).1 =( x plus 1).(x plus non x) 6
S ( x plus 1 ).( x plus non x) = x plus (1.nonx) 5,6
x plus (1.nonx) = x plus(nonx.1) 3
x plus (nonx.1) = x plus nonx 2
x plus non x = 1 6
Všimněme se,že rovnice S byla řešena v součinnosti axiomů 5 a 6 a přímo operací konjunkce a disjunkce.
Na základě dokázané rovnice dokažme ještě rovnici x plus x.y = x
x plus x.y = x.1 plus x.y 2
x.1 plus x.y = x(1 plus y ) 5
x(1 plus y) = x( y plus 1) 3
x(y plus 1) = x.1 použita dříve dokázaná rovnice
x.1 = x 2
Pokračování v článku Porovnání 2